объясните что такое отображение плоскости на себя

Отображение плоскости на себя

Говорят, что дано отображение плоскости на себя, если каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, при этом любая точка сопоставлена некоторой точке.

В случае когда точка М лежит на оси симметрии, то точка М₁, которая является симметричной данной, совпадет с самой точкой М. Итак, с помощью осевой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка М₁ этой же плоскости. Причём любая точка М₁ оказывается сопоставленной некоторой точке М.

Вывод: осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Рассмотрим центральную симметрию: пусть центром симметрии является точка О. Выберем произвольную точку М и построим симметричную ей точку М₁ относительно точки О. Для этого проведем прямую МО и на ней отложим отрезок ОМ₁ = ОМ, тогда точка М₁ и есть искомая точка.

В случае когда точка М совпадает с центром симметрии, то точка М₁, симметричная данной, совпадет с самой точкой М. Итак, с помощью центральной симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка М₁ этой же плоскости. Причём любая точка М₁ оказывается сопоставленной некоторой точке М.

Вывод: центральная симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Отображение плоскости на себя

Урок 39. Геометрия 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Отображение плоскости на себя»

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Мы уже встречались с примерами отображения плоскости на себя. Это осевая симметрия. Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведем примеры таких фигур из жизни и геометрии. Например, бабочка обладает осью симметрии. У бабочки крылья симметричны относительно брюшка, кленовый лист симметричен относительно одной из центральных жилок. Вообще в нашей жизни очень много примеров осевой симметрии. В геометрии к фигурам с осевой симметрией относятся: прямоугольник, равнобедренный треугольник, ромб и другие.

То что осевая симметрия является примером отображения плоскости на себя доказать нетрудно.

Пусть a – это ось симметрии. Возьмем произвольную точку М, которая не лежит на прямой a и построим симметричную ей точку М один относительно прямой a. Для этого нужно провести перпендикуляр MP к прямой a и отложить на этом перпендикуляре отрезок PM₁=MP. Точка М₁ – искомая.

Если точка М лежит на прямой a, то симметричная ей точка М один совпадает с точкой М. То есть каждой точке М плоскости ставиться в соответствие точка M₁ этой плоскости. Этот факт доказывает, то что осевая симметрия является примером отображения плоскости на себя.

Вспомним еще один вид симметрии – центральную симметрию.

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры.

Примерами центрально симметричных фигур можно назвать некоторые цветы. В геометрии яркими примерами центрально симметричных фигур являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм (центром симметрии является точка пересечения диагоналей).

Доказать то, что центральная симметрия является примером отображения плоскости на себя, нетрудно. Пусть точка О – центр симметрии. Возьмем произвольную точку М и построим точку, которая симметрична точке М относительно центра симметрии О. Для этого соединим точки М и О и на продолжении прямой МО отложим отрезок О М₁ равный отрезку МО. Точка М₁ – искомая точка.

То есть мы доказали, что центральная симметрия тоже является примером отображения плоскости на себя.

Задача. Пусть в координатной плоскости имеются точки , , , . Построить точки симметричные:

а) точкам и относительно оси ;

б) точкам и относительно оси ;

в) точкам и относительно начала координат.

а) ;

б) ;

в) ;

Для того, чтобы построить точки, симметричные точкам А и B относительно оси Оy, необходимо из точек А и B провести перпендикуляр к оси Оy и затем на продолжении этих перпендикуляров отложить отрезки равные АК и BP соответственно. Тогда получим точки A_1, B₁, которые симметричны точкам А и B относительно оси Оy.

Аналогично, для построения точек симметричных точкам C и D относительно оси Ox, опустим из этих точек перпендикуляры на ось Ox и на продолжении перпендикуляров отложим отрезки равные отрезкам CE и DF соответственно. Таким образом, мы получим точки C₁D₁ симметричны точкам C и D относительно оси Ox.

Для того, чтобы построить точки, симметричные точкам А и D относительно начала координат, соединим точки А и D с началом координат и на продолжении этих прямых отложим отрезки, равные АО и DО соответственно. Получим точки A2 и D2. Эти точки и будут симметричными точкам А и D относительно начала координат.

Задача. Указать количество осей симметрии:

a) у равностороннего треугольника оси симметрии;

б) у равнобедренного треугольника ось симметрии;

в) у ромба 2 оси симметрии;

г) у параллелограмма нет осей симметрии.

Задача. Среди представленных фигур укажите фигуры, у которых:

а) есть ось симметрии;

б) есть центр симметрии.

Легко увидеть, что ось симметрии имеют все фигуры кроме параллелограмма. А вот центр симметрии будут иметь окружность, ромб и параллелограмм.

Подведем итоги урока. Сегодня мы ввели понятие отображения плоскости на себя. Мы сказали, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Вспомнили такие понятия как центральная и осевая симметрия.

Источник

Отображение плоскости на себя

Слово «движение» вам знакомо. Но в геометрии оно имеет особый смысл. Какой именно, об этом вы узнаете из данной главы. А пока отметим, что с помощью движений удаётся находить красивые решения многих геометрических задач. Примеры таких решений вы найдёте в этой главе.

Представим себе, что каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фактически мы уже встречались с отображениями плоскости на себя — вспомним осевую симметрию (см. п. 48). Она даёт нам пример такого отображения. В самом деле, пусть а — ось симметрии (рис. 321). Возьмём произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку М₁ относительно прямой а. Для этого нужно провести перпендикуляр МР к прямой а и отложить на прямой МР отрезок РМ₁, равный отрезку МР, так, как показано на рисунке 321. Точка М₁ и будет искомой. Если же точка М лежит на прямой а, то симметричная ей точка М₁ совпадает с точкой М. Мы видим, что с помощью осевой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка М, этой же плоскости. При этом любая точка М₁ оказывается сопоставленной некоторой точке М. Это ясно из рисунка 321.

Итак, осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Рассмотрим теперь центральную симметрию плоскости (см. п. 48). Пусть О — центр симметрии. Каждой точке М плоскости сопоставляется точка М₁, симметричная точке М относительно точки О (рис. 322). Попытайтесь самостоятельно убедиться в том, что центральная симметрия плоскости также представляет собой отображение плоскости на себя.

Источник

Геометрия. 9 класс

Представим себе, что каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Говорят, что задано отображение плоскости на себя. Примерами отображения плоскости на себя являются осевая и центральная симметрия.
Возьмем произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку М₁ относительно прямой а.

Так любой точке плоскости может быть поставлена в соответствие ей симметричная относительно прямой а. При этом любая точка М₁ оказывается сопоставленной некоторой точке М.
Аналогично при центральной симметрии.

Введем понятие «движение плоскости». Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние. Поясним, что это значит. Пусть М и N какие-либо точки плоскости, а M₁ и N₁ симметричные им относительно прямой а.

Из точек N и N₁ проведём перпендикуляры РN и РN₁ к прямой МM₁. Прямоугольные треугольники МРN и М₁Р₁N₁ равны по двум катетам: МР = М₁Р₁ и РN = Р₁N₁. Поэтому гипотенузы МN и M₁N₁ равны. Значит расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными точками M₁ и N₁. Аналогично при центральной симметрии.

Рассмотрим свойства движения:
При движении отрезок отображается на отрезок.
Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. Также любая геометрическая фигура (луч, угол, многоугольник и другие) отображается на равную ей фигуру.

Не всякое отображение плоскости на себя сохраняет расстояние. Пример гомотетия, треугольники АВС и А₁В₁С₁ не равны.

В геометрии равенство фигур устанавливается с помощью наложения. Говорят, что фигура Ф₁ равна фигуре Ф₂, если их можно совместить наложением. При наложении отрезок отображается на равный ему отрезок.

Таким образом, наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние. Справедлива следующая теорема: Любое движение является наложением.

Источник

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемВалентин Загоскин

Похожие презентации

Презентация на тему: » Отображение плоскости на себя означает, что каждой точке плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается.» — Транскрипт:

2 Отображение плоскости на себя означает, что каждой точке плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке.

5 Осевая симметрия обладает следующим важным свойством- это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками. Расстояние между двумя точками при осевой симметрии равно расстоянию между симметричными им точками, поэтому осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между двумя точками.

6 Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением. Движение плоскости- э ээ это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Центральная симметрия плоскости также является движением.

7 Теперь рассмотрим ещё два вида движения: параллельный перенос на вектор a и поворот на заданный угол.

8 Параллельный перенос – это отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M 1, что вектор MM 1 равен вектору a.

9 1) Отрезка: Пусть дан отрезок MN и вектор a. Перенесем этот отрезок на вектор a, получим отрезок KP, равный MN Построение: 1) MK= a, NP= a 2) соединяем точки K и P 3) [KP]- искомый N M K P a

10 П ПП Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1, что ОМ= ОМ 1 и угол МОМ 1 равен.

11 1) Точки: Отметим на плоскости произвольную точку A и O(центр поворота) и зададим угол β. Отобразим точку A в точку K. Построение: 1) AOK= β 2) [OA] с [OA), [OK] c [OK), [OK]=[OA] 3) Точка K- искомая O K A β β

Источник