что такое гладкая кривая

Кривые и основные понятия

Понятие простой кривой.

Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат $Oxyz$, и пусть на отрезке $[\alpha,\beta]$ заданы непрерывные функции $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$. Тогда говорят, что задано непрерывное отображение отрезка $[\alpha,\beta]$ в трехмерное пространство.

Рис. 22.1

Числа $x(t),y(t),z(t)$ можно рассматривать как координаты точки M (рис. 22.1), где $M=M(t)$, или как координаты вектора $r(t)$ с началом в точке $O$ и концом в точке $M$, то есть
$$
\overrightarrow=r(t)=(x(t),y(t),z(t)).\nonumber
$$
Если считать, что переменное $t$ есть время, то уравнения
$$
x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t),\quad \alpha\leq t\leq\beta,\label
$$
определяют закон движения точки $M(t)$, а множество точек $M(t)$, соответствующих всевозможным значениям $t$ на отрезке $[\alpha,\beta]$, можно рассматривать как след (путь) точки, движущейся по закону \eqref.

В общем случае закон движения может быть очень сложным. Например, существуют такие непрерывные на отрезке $[\alpha,\beta]$ функции $x(t),y(t),z(t)$, что точка $M(t)$, движущаяся в соответствии с законом \eqref, пройдет через каждую точку некоторого куба.

Предположим, что любым двум различным значениям $t_<1>$ и $t_<2>$ из отрезка $[\alpha,\beta]$ соответствуют различные точки $M(t_1)$ и $M(t_2)$ пространства, и обозначим через $K$ множество всех точек $M(x,y,z)$ пространства, координаты которых определяются формулами \eqref.

Будем говорить, что точка $M(t_2)\in K$ следует за точкой $M(t_<1>)\in K$ или точка $M(t_1)$ предшествует точке $M(t_<2>)$, если $\alpha\leq t_ <1>0$, задается полуокружность радиуса $R$, лежащая в верхней полуплоскости ($y\geq 0$) и «пробегаемая» против часовой стрелки. График функции $y=f(x)$, непрерывной на отрезке $[\alpha,\beta]$, можно рассматривать как простую плоскую кривую $\Gamma$, заданную уравнением
$$
\Gamma=.\nonumber
$$

Параметризуемые кривые.

Если существуют два различных значения $t_1$ и $t_2$ из отрезка $[\alpha,\beta]$ таких, что $M(t_<1>)=M(t_<2>)$, то отображение \eqref отрезка в трехмерное пространство не является взаимно однозначным.

Предположим, что отрезок $[\alpha,\beta]$ можно разбить на отрезки $\delta_=[t_,t_],\ k=\overline<1,n>$, где \(\alpha=t_ <0>Замечание 2.

Одна и та же кривая $\Gamma$ может быть параметризована различными способами. Мы будем рассматривать только такие параметризации, которые получаются из данной параметризации \eqref путем представления параметра $t$ в виде непрерывной строго возрастающей функции другого параметра.

Это означает, что если наряду с представлением кривой $\Gamma$ через параметр $t$ уравнением \eqref эта кривая представлена через параметр $s$ уравнением
$$
\Gamma=<\rho=\rho(s),\ \alpha_<1>\leq s\leq\beta_<1>>,\label
$$
то должно выполняться условие: $s=s(t)$ — непрерывная строго возрастающая функция на отрезке $[\alpha,\beta]$, причем
$$
s(\alpha)=\alpha_<1>,\quad s(\beta)=\beta_1,\quad \rho(s(t))=\textbf(t)\quad для\ всех\ t\in [\alpha,\beta].\label
$$

В этом случае на отрезке $[\alpha_<1>,\beta_<1>]$ определена непрерывная и строго возрастающая функция $t=t(s)$, обратная к функции $s=s(t)$, и для всех $s\in[\alpha_<1>,\beta_<1>]$ выполняется равенство
$$
\rho(s)=\textbf(t(s)).\label
$$

Условимся в дальнейшем, если не оговорено противное, для записи уравнений кривых использовать, только параметризации, указанные в замечании 2, и называть их допустимыми.

Пусть параметризуемая кривая $\Gamma$ задана уравнением \eqref, и пусть существуют значения $t_<1>$ и $t_<2>$ ($t_<1>\neq t_<2>$) из отрезка $[\alpha,\beta]$ такие, что $\textbf(t_1)=\textbf(t_2)$. Тогда говорят, что точка $M_<1>(x_<1>,y_<1>,z_<1>)$, где $x_<1>=x(t_1)=x(t_2),\ y_<1>=y(t_<1>)=y(t_2),\ z_1=z(t_1)=z(t_<2>)$, является точкой самопересечения (кратной точкой) кривой $\Gamma$.

Если равенство $\textbf(t_1)=\textbf(t_2$) выполняется при $t_<1>=\alpha,\ t_<2>=\beta$, то кривую $\Gamma$ называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую точек самопересечения, отличных от точки $M_<1>(x(\alpha),y(\alpha),z(\alpha))$, будем называть простым контуром.

Например, кривая
$$
\Gamma=\\nonumber
$$
является простым контуром. При изменении $t$ от 0 до $2\pi$ точка $M(\cos t,\sin t)$ «описывает» единичную окружность, двигаясь против часовой стрелки. Точка плоскости $Oxy$ с координатами $(0,1)$ является одновременно начальной и конечной точкой кривой $\Gamma$.

Касательная к кривой.

Пусть кривая $\Gamma$ задана уравнением \eqref, где $\textbf(t)$ — вектор-функция, дифференцируемая в точке $t_<0>\in [\alpha,\beta]$, причем $\textbf‘(t_<0>)\neq 0$. Тогда
$$
\Delta \textbf=\textbf(t_0+\Delta t)-\textbf(t_0)=r'(t_0)\Delta t+\Delta t\alpha(\Delta t),\label
$$
где $\alpha(\Delta t)\rightarrow 0$ при $\Delta t\rightarrow 0$. Из условия $\textbf‘(t0)\neq 0$ и равенства \eqref следует, что при всех достаточно малых $\Delta t\neq 0$ правая часть \eqref есть ненулевой вектор, и поэтому $\Delta \textbf \neq 0$, то есть существует число $\delta > 0$ такое, что если
$$
0 Рис. 22.2

Если $\textbf‘(t_<0>)\neq 0$, то при всех значениях $\Delta t$, удовлетворяющих условиям \eqref, ненулевой вектор $\Delta \textbf=\textbf(t_0+\Delta t)-\textbf(t_0)$ параллелен секущей, и поэтому вектор $\displaystyle \frac<\Delta r><\Delta t>$ также параллелен секущей. Уравнение секущей имеет вид
$$
r=r(t_0)+\frac<\Delta r><\Delta t>\lambda,\qquad \lambda \in\mathbb.\label
$$

Пусть существует предельное положение секущей, то есть существует $\displaystyle \lim_<\Delta t\rightarrow 0>\frac<\Delta r><\Delta t>\neq 0$. Тогда прямая, уравнение которой получается из уравнения \eqref заменой отношения $\displaystyle \frac<\Delta r><\Delta t>$ его пределом, называется касательной к кривой $\Gamma$ в точке $M_<0>$.

Если $r'(t_0)\neq 0$, то существует касательная к кривой $\Gamma$ в точке $M_<0>$, и уравнение этой касательной можно записать в виде
$$
\textbf=\textbf(t_<0>)+\textbf‘(t_<0>)\lambda,\qquad\lambda\in\mathbb.\label
$$$\circ$ Если функция $\textbf(t)$ дифференцируема при $t=t_0$ и $\textbf‘(t_<0>)\neq 0$, то существует $\displaystyle \lim_<\Delta t\rightarrow 0>\frac<\Delta \textbf><\Delta t>=\textbf‘(t_0)$, и по определению прямая \eqref является касательной к кривой $\Gamma$ в точке $M_<0>$. $\bullet$В координатной форме уравнение \eqref имеет вид
$$
x=x(t_<0>)+\lambda x'(t_<0>),\quad y=y(t_0)+\lambda y'(t_0),\quad z=z(t_<0>)+\lambda z'(t_<0>),\quad \lambda\in \mathbb,\nonumber
$$
a в канонической форме уравнение касательной записывается в виде
$$
\frac)>)>=\frac)>)>=\frac)>)>.\quad\bullet\nonumber
$$

Понятие гладкой кривой.

Пусть кривая $\Gamma$ задана уравнением \eqref, где $\textbf(t)$ — дифференцируемая на отрезке $[\alpha,\beta]$ функция, тогда говорят, что $\Gamma$ — дифференцируемая кривая.

Если $r'(t_0)\neq 0$, то точку $M_<0>\in\Gamma$, где $\overrightarrow=r(t_0)$, называют неособой точкой кривой $\Gamma$; если же $\textbf‘(t_0)=0$, то говорят, что $M_<0>$ — особая точка кривой $\Gamma$.

Пусть $\textbf(t)=(x(t),y(t),z(t))$, тогда $r'(t_0)=(x'(t_<0>),y'(t_<0>),z'(t_<0>))$, и поэтому точка $M_0$ является неособой точкой кривой $\Gamma$ тогда и только тогда, когда $(x'(t_0))^2+(y'(t_0))^2+(z'(t_0))^2 > 0$. из определения неособой точки и утверждения 1 следует, что во всякой неособой точке кривой $\Gamma$ существует касательная.

Если функция $r'(t)$ непрерывна на отрезке $[\alpha,\beta]$, то будем говорить, что кривая $\Gamma$, заданная уравнением \eqref, непрерывно дифференцируема.

Условимся называть кривую гладкой, если она является непрерывно дифференцируемой и не имеет особых точек. Следовательно, кривая $\Gamma$, заданная уравнением \eqref, является гладкой, если функция $\textbf‘(t)\neq 0$ при всех $t\in[\alpha,\beta]$. Если кривая составлена из конечного числа гладких кривых, то такую кривую будем называть кусочно гладкой.

Для непрерывно дифференцируемой кривой $\Gamma$ в качестве допустимых преобразований параметра (см. замечания выше) рассматриваются функции $s(t)$, непрерывно дифференцируемые и такие, что $s'(t) > 0$.

В этом случае на отрезке $[\alpha,\beta]$ определена непрерывно дифференцируемая функция $t=t(s)$, обратная к функции $s=s(t)$, причем $t'(s) > 0$ и выполняется равенство \eqref.

Источник