что такое гладкая функция
Гладкая функция
Гладкая функция или непрерывно дифференцируемая функция — это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения.
Основные сведения
Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости 
имеет непрерывную производную порядка . Множество таких функций, определённых в области 
обозначается 
. 
означает, что 
для любого , а 
означает, что 
— аналитическая.
Например, 
— множество непрерывных на функций, а 
— множество непрерывно-дифференцируемых на функций, т.е. функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.
Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.
Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.
Функция принадлежит классу 
, где — целое неотрицательное число и 
, если имеет производные до порядка включительно и 
является гёльдеровской с показателем 
.
В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера», используется термин «показатель Липшица».
Приближение непрерывно-дифференцируемых функций аналитическими
Пусть открыто в 
и 
, 
. Пусть 
— последовательность компактных подмножеств такая, что 
, 
и 
. Пусть 
— произвольная последовательность положительных целых чисел и 
. Наконец, пусть 
— произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует 
-аналитическая функция 
в такая, что для всякого 
:
Математика
This wiki’s URL has been migrated to the primary fandom.com domain.Read more here
Гладкая функция
Гладкая функция — это функция, имеющая непрерывную производную на всем множестве определения.
Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости r имеет непрерывную производную порядка r. Множество таких функций, определённых в области 
обозначается . означает что для любого , а означает что аналитическая.
Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.
ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ
Дарбу И др. В. Ф. Емельянов.
Смотреть что такое «ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ» в других словарях:
Гладкая функция — или непрерывно дифференцируемая функция это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Основные сведения Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости имеет… … Википедия
Гладкая функция — [smooth function] функция, все частные производные которой, до порядка r включительно, непрерывны. Это означает «гладкость порядка r.» … Экономико-математический словарь
гладкая функция — Функция, все частные производные которой, до порядка r включительно, непрерывны. Это означает «гладкость порядка r». [http://slovar lopatnikov.ru/] Тематики экономика EN smooth function … Справочник технического переводчика
Кусочно-гладкая функция — Кусочно гладкая функция функция, определённая на множестве вещественных чисел, дифференцируемая на каждом из интервалов, составляющих область определения. Формальное определение Пусть заданы точки смены формул. Как и все кусочно… … Википедия
Функция Морса — ― гладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки. Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии. Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия
МОРСА ФУНКЦИЯ — гладкая функция, обладающая нек рыми специальными свойствами. М. ф. возникают и используются в Морса теории. Пусть гладкое гильбертово полное (относительно нек рой римановой метрики) многообразие (напр., конечномерное), край к рого является… … Математическая энциклопедия
Кусочно-заданная функция — Кусочно заданная функция функция, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой. Формальное определение и задание Пусть заданы точки смены формул … Википедия
РИМАНА ФУНКЦИЯ — 1) P. ф. в т е о р и и т р и г о н о м е т р и ч е с к и х р я д о в функция, введенная Б. Риманом (В. Riemann, 1851) (см. [1]) для изучения вопроса о представимости функции тригонометрич. рядом. Пусть дан ряд (*) с ограниченными… … Математическая энциклопедия
Сплайн-функция — [spline function] кусочно гладкая функция, используемая для выравнивания временных рядов. Применение С. ф. вместо обычных функций тренда эффективно, когда внутри анализируемого периода меняется тенденция, направление ряда. С. ф. помогает… … Экономико-математический словарь
Приведенные ниже функции обычно используются для построения разбиений единицы на дифференцируемых многообразиях.
СОДЕРЖАНИЕ
Пример функции
Определение функции
Функция гладкая
Шаг индукции от n до n + 1 аналогичен. При x > 0 для производной получаем
Функция не аналитическая
и поэтому ряд Тейлора не равен f ( x ) при x > 0. Следовательно, f не аналитична в нуле.
Функции плавного перехода
Для действительных чисел a гладкая функция
Гладкая функция, которая нигде не является реальной аналитической.
Приложение к серии Тейлор
Используя функцию плавного перехода g, как указано выше, определите
а из теоремы об ограниченности следует, что ψ n и любая производная от ψ n ограничена. Следовательно, константы
с участием супремума нормы о ф н и его первых п производных, хорошо определенные действительные числа. Определите масштабированные функции
Осталось показать, что функция
хорошо определен и может быть почленно дифференцирован бесконечно много раз. Для этого заметим, что для каждого k
Применение к высшим измерениям
Для любого радиуса r > 0
Комплексный анализ
имеет существенную особенность в начале координат и, следовательно, не является даже непрерывным, а тем более аналитическим. По великой теореме Пикара каждое комплексное значение (за исключением нуля) достигается бесконечно много раз в каждой окрестности начала координат.
Гладкая функция
Гладкая функция [smooth function] — функция, все частные производные которой, до порядка r включительно, — непрерывны. Это означает «гладкость порядка r.»
Смотреть что такое «Гладкая функция» в других словарях:
Гладкая функция — или непрерывно дифференцируемая функция это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Основные сведения Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости имеет… … Википедия
гладкая функция — Функция, все частные производные которой, до порядка r включительно, непрерывны. Это означает «гладкость порядка r». [http://slovar lopatnikov.ru/] Тематики экономика EN smooth function … Справочник технического переводчика
ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, у к рой каждое значение аргумента является гладкой точкой. Г. ф. может быть разрывной. Если Г. ф. непрерывна на интервале, то множество точек ее дифференцпруемости плотно на нем и имеет мощность континуума. Существуют непрерывные,… … Математическая энциклопедия
Кусочно-гладкая функция — Кусочно гладкая функция функция, определённая на множестве вещественных чисел, дифференцируемая на каждом из интервалов, составляющих область определения. Формальное определение Пусть заданы точки смены формул. Как и все кусочно… … Википедия
Функция Морса — ― гладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки. Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии. Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия
МОРСА ФУНКЦИЯ — гладкая функция, обладающая нек рыми специальными свойствами. М. ф. возникают и используются в Морса теории. Пусть гладкое гильбертово полное (относительно нек рой римановой метрики) многообразие (напр., конечномерное), край к рого является… … Математическая энциклопедия
Кусочно-заданная функция — Кусочно заданная функция функция, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой. Формальное определение и задание Пусть заданы точки смены формул … Википедия
РИМАНА ФУНКЦИЯ — 1) P. ф. в т е о р и и т р и г о н о м е т р и ч е с к и х р я д о в функция, введенная Б. Риманом (В. Riemann, 1851) (см. [1]) для изучения вопроса о представимости функции тригонометрич. рядом. Пусть дан ряд (*) с ограниченными… … Математическая энциклопедия
Сплайн-функция — [spline function] кусочно гладкая функция, используемая для выравнивания временных рядов. Применение С. ф. вместо обычных функций тренда эффективно, когда внутри анализируемого периода меняется тенденция, направление ряда. С. ф. помогает… … Экономико-математический словарь