что дает плюс на минус в математике при сложении

Математика для блондинок

Страницы

четверг, 31 декабря 2020 г.

Минус на плюс что дает?

Положительные и отрицательные числа придумали математики. Делать им было нечего, вот они и придумали. Правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел придумали всё те же математики. Специально для того, чтобы нам жизнь мёдом не казалась. Как же нам быть? Нужно выучить эти правила, чтобы говорить математикам то, что они хотят от нас слышать.

Запомнить правила умножения или деления положительных и отрицательных чисел очень просто. Если два числа имеют разные знаки, в результате всегда будет знак минус.
Если два числа имеют одинаковые знаки, в результате всегда будет плюс.

Рассмотрим все возможные варианты. Что дает минус на плюс? При умножении и делении минус на плюс дает минус. Что дает плюс на минус? При умножении и делении в результате мы тоже получаем знак минус.

Минус на плюс, плюс на минус.

Как вы видите, все варианты умножения и деления положительных и отрицательных чисел исчерпаны, но знак плюс у нас так и не появился. Это мы сформулировали правило для себя, чтобы запомнить. Что говорить математикам? При умножении или делении положительных и отрицательных чисел в результате получается отрицательное число. Всегда.

Что дает минус на минус? Всегда будет получаться плюс, если мы выполняем умножение или деление. Что дает плюс на плюс? Здесь совсем просто. Умножение или деление плюса на плюс дает всегда плюс.

Минус на минус, плюс на плюс.

Надеюсь, это вы запомнили: минус на минус дает плюс, плюс на плюс дает минус. Что говорить математикам? При умножении и делении положительных или отрицательных чисел в результате получается положительное число.

Если с умножением и делением двух плюсов всё понятно (в результате получается такой же плюс), то с двумя минусами ничего не понятно. По логике, если два плюса дают плюс, то два минуса должны давать минус. Такой большой, жирный минус. Но не тут-то было. Математики думают иначе. Так почему минус и минус превращаются в плюс?

Могу вас заверить, что интуитивно математики правильно решили задачу на умножение и деление плюсов и минусов. Они записали правила в учебники, не особо вдаваясь в подробности. Для правильного ответа на вопрос, нам нужно разобраться, что же означают знаки плюс и минус в математике.

Если в бочку дёгтя добавить ложку мёда, получится бочка дёгтя.
Если в бочку мёда добавить ложку дёгтя, получится бочка дёгтя.
Если в бочку дёгтя добавить ложку дёгтя, получится бочка мёда.
Если в бочку мёда добавить ложку мёда, получится бочка мёда.

Здесь возможны два варианта:
1. Математики не правильно записали свое правило.
2. Мы не правильно применяем математическое правило.

Лично я за второй вариант. Объясню почему. Математику не только нужно знать, но нею ещё нужно уметь пользоваться.

Приведу пример из собственного опыта. Один учитель математики на уроках нам говорил: «математика – это точная наука, два раза соври – получится правда». Это утверждение однажды мне очень пригодилось. Как-то я решал сложную задачу с длинным решением. Я точно знал, какой результат должен быть. Но результат был другим. Я долго искал ошибку в расчетах, но не смог ее найти. Тогда, за несколько действий до итогового результата, я изменил одно число так, чтобы результат получился правильным. Я в расчетах соврал два раза и получил правильный результат. Математические вычисления в тот раз никто не проверял и я получил хорошую оценку. Это очень похоже на правило «минус на минус дает плюс», не так ли?

Но вернемся к нашим бочкам. Кстати, говорят, именно с бочек с вином математики срисовали знак «минус». Виноделы этим знаком обозначали пустые бочки. После наполнения бочек вином они перечеркивали знак «минус» и получался знак «плюс». По сути, знак «минус» заменял виноделам обычный ноль, ведь он обозначал отсутствие вина в бочке. Но математики ловко присобачили знак «минус» к числам и назвали их «отрицательными».

В этом примере буква а выполняет роль единицы измерения. Кстати, правило умножения отрицательных чисел наводит на ещё один вопрос математикам: сколько отрицательных чисел нужно сложить, чтобы получилось одно положительное число?

Так что же такое знаки «плюс» и «минус» в математике? Существуют ли отрицательные числа? Об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Источник

Правило сложения отрицательных чисел и чисел с разными знаками

Для суммирования двух отрицательных чисел, необходимо:

суммировать их модули;

перед полученной суммой поставить знак «минус».

В данном случае, складываем модули 9 и 6, и перед получившимся натуральным числом 15 ставим знак «-«.

Сложение рациональных или дробных чисел выполняется аналогичным способом:

К 26,35 прибавляем 25,35 (т. е. мы складываем модули), в итоге получаем 51,75 с отрицательным значением. Перед ним ставим знак «минус».

Для суммирования натуральных чисел со знаками «+» и «-», надо:

из слагаемого с большим значением модуля вычесть слагаемое с меньшим значением;

перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, которое имело большее значение.

61,2 + (-31,5) = + (61,2 — 31,5) = 30,5

Модуль большего числа со знаком «+», соответственно, сумма получилась положительная:

Большее число со знаком «-», поэтому заменяем плюс на минус и получаем отрицательный ответ.

Как вычитать отрицательные и положительные числа

Для нахождения разности противоположных чисел, надо к уменьшаемому прибавить вычитаемое с противоположным знаком, то есть заменить разность суммой.

Наглядно данное действие лучше представить в виде формулы:

То есть любое выражение, содержащее знаки сложения и вычитания, следует решать как сумму чисел.

-6,1 + 5,6 = 5,6 + (-6,3) = 0,5.

Разность выражения будет положительной, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательной, если значение модуля уменьшаемого меньше вычитаемого. В случае, когда уменьшаемое и вычитаемое одинаковые, их разность будет равна нулю.

Если нужно отнять отрицательное число, то два знака «минус» подряд дают знак «плюс».

Все вышеперечисленные действия возможно выполнить на калькуляторе. Для этого достаточно ввести сначала модуль числа, потом нажать кнопку изменения знака «+/-».

Заключение

Для закрепления изученных правил можно использовать различные методы проверки знаний. На первом этапе лучшим вариантом будет тренажер, с помощью которого решение подобных примеров можно довести до автоматизма.

Так же для закрепления материала подойдет тестирование. Его можно провести в виде самостоятельной работы. В конце изучения всех правил применяется контрольная работа, задания для которой можно подобрать из различных дидактических материалов.

Источник

Почему минус на минус всегда даёт плюс?

Польза натуральных чисел

Для начала немного окунёмся в историю арифметики. Совершенно естественно, что в самом начале люди пользовались только натуральными числами — один, два, три и так далее. Их использовали для того, чтобы посчитать реальное количество предметов. Просто так, в отрыве от всего, цифры были бесполезны, поэтому стали появляться и действия, с помощью которых стало возможно оперировать числами. Абсолютно логично, что самым необходимым для человека стало сложение. Эта операция проста и естественна — подсчитать количество предметов становилось проще, теперь не нужно было каждый раз считать заново — «один, два, три». Заменить счёт теперь стало возможным с помощью действия «один плюс два равно три». Натуральные числа складывались, ответ тоже был натуральным числом.

Умножение представляло собой, по сути, такое же сложение. На практике мы и сейчас, например, совершая покупки, так же используем сложение и умножение, как это делали давным-давно наши предки. Однако порой приходилось совершать операции вычитания и деления. И числа не всегда были равнозначны — иногда число, от которого отнимали, было меньше числа, которое вычитали. То же и с делением. Таким образом и появились дробные числа.

Появление отрицательных чисел

В документах Индии записи об отрицательных числах появились в VII веке нашей эры. В китайских документах существуют более древние отметки об этом математическом «факте».

В жизни мы чаще всего отнимаем от большего числа меньшее. Например: у меня есть 100 рублей, хлеб и молоко стоят 65 рублей; 100 — 65 = 35 рублей сдачи. Если же я захочу купить ещё какой-то товар, стоимость которого превышает мои оставшиеся 35 рублей, например ещё одно молоко, то как бы я ни хотел его приобрести, а больше денег у меня нет, следовательно, отрицательные числа мне ни к чему.

Практически для таких же целей и начали впервые использовать отрицательные числа. Китайцы первыми использовали их для записи долгов или в промежуточных решениях уравнений. Но использование это было всё равно лишь для того, чтоб прийти к положительному числу (впрочем, как и наше погашение кредитки). Долгому отвержению отрицательных чисел способствовало то, что они не выражали конкретных предметов. Десять монет — это десять монет, вот они, их можно потрогать, на них можно купить товар. А что значит «минус десять монет»? Они предполагаются, даже если это долг. Неизвестно, вернётся ли этот долг, и превратятся ли «записанные» монеты в реальные. Если при решении какой-нибудь задачи получалось отрицательное число, считалось, что вышел неверный ответ или ответа вообще не существует. Такое недоверчивое отношение сохранялось у людей достаточно долго, даже Декарт (XVII век), совершивший прорыв в математике, считал отрицательные числа «ложными».

Формирование правил действий с отрицательными числами

Рассмотрим уравнение 9х-12=4х-2. Для решения уравнения нужно перенести члены с неизвестным в одну сторону, а известные числа — в другую. Это можно выполнить двумя способами.

Переносим часть уравнения с неизвестным в левую сторону, а другие числа — в правую. Получается:

Ответ найден. За все действия, что нам потребовалось выполнить, мы ни разу не прибегнули к использованию отрицательных чисел.

Теперь переносим часть уравнения с неизвестным в правую сторону, а остальные слагаемые — в левую. Получаем:

Чтобы найти решение, нам нужно одно отрицательное число разделить на другое. Однако верный ответ мы уже получили в предыдущем решении — это х, равное двум. Следовательно, остаётся вывести, что (-10)/(-5)=2.

Что доказывают нам эти два способа решения одного уравнения? Первое, что становится ясно – это то, каким образом выводилась адекватность оперирования отрицательными числами — полученный ответ должен быть таким же, что и при решении с использованием только натуральных чисел. Второй момент — это тот факт, что не нужно больше задумываться над величинами, чтобы получать непременно неотрицательное число. Можно выбирать наиболее удобный способ решения, особенно это касается сложных уравнений. Действия, которые позволили не задумываться над некоторыми операциями (что нужно сделать, чтоб были только натуральные числа; какое число больше, чтоб вычитать именно от него и т.д.), стали первыми шагами к «абстракцианизации» математики.

Естественно, не все правила действий с отрицательными числами сформировались единовременно. Копились решения, обобщались примеры, на основе чего и стали понемногу «вырисовывать» основные аксиомы. С развитием математики, с выделением новых правил, появлялись новые уровни абстракции. Например, в девятнадцатом веке стало доказано, что целые числа и многочлены имеют много общего, хотя внешне отличаются. Все их можно складывать, вычитать и перемножать. Правила, которым они подчиняются, влияют на них одним образом. Что же касается деления одних целых чисел на другие, то здесь «поджидает» занимательный факт — ответом не всегда будет целое число. Этот же закон распространяется и на многочлены.

Затем было выявлено множество других совокупностей математических объектов, над которыми возможно было производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции. Со временем математики установили, что после исследования свойств операций результаты станет возможно применять ко всем этим совокупностям объектов. Точно так же работают и в современной математике.

Больше интересных материалов:

Сугубо математический подход

С течением времени математики выявили новый термин — кольцо. Под кольцом подразумевают множество элементов и операции, которые можно над ними производить. Основополагающими становятся правила (те самые аксиомы), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества. Для того, чтоб выделить первостепенность структуры, возникающую после введения аксиом, как раз обычно и употребляют термин «кольцо»: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. п. Используя аксиомы и исходя из них, можно выявлять новые свойства колец.

Сформулируем правила кольца, похожие на аксиомы операций с целыми числами, и докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус выходит плюс.

Под кольцом понимается множество с двумя бинарными операциями (в каждом действии участвуют два элемента кольца), традиционно именуемыми сложением и умножением, и следующими аксиомами:

— сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (—A)), что A + (—A) = 0;

— умножение подчиняется сочетательному закону: A · (B · C) = (A · B) · C;

— сложение и умножение связаны следующими правилами раскрытия скобок:

(A + B) · C = A · C + B · C

A · (B + C) = A · B + A · C.

Уточним, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (операция деления не всегда возможна), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если ввести данные аксиомы, получим другие алгебраические структуры, однако со всеми действующими теоремами, доказанными для колец.

Из этого получим утверждения про единицы:

Далее следует доказать некоторые моменты. Во-первых, нужно установить существование лишь одной противоположности для каждого элемента. Допустим, наличие у элемента А два противоположных элемента: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Разберём сумму A + B + C. Используя переместительный и сочетательный законы, а также свойства нуля, получим, что сумма равна:

B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.

Следовательно, B = C.

Отметим, что и A, и (-(-A)) противоположны к элементу (-A). Отсюда заключаем, что элементы A и (-(-A)) должны быть равны.

Далее, 0 = 0 · B = (A + (-A)) · B = A · B + (-A) · B,

Заметим, что 0 · B = 0 для любого элемента B.

0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B,

таким образом, прибавление 0·B не изменяет сумму. Получается, это произведение равно нулю.

Источник

Свойства сложения и вычитания

Свойства сложения

Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число

Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.

Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.

Сумма — это число, которое получается в результате сложения.

Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:

При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.

Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.

Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.

Свойства вычитания

Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.

Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.

Вычитаемое — это число, которое вычитают.

Разность — это число, которое получается в результате вычитания.

Примеры использования свойств сложения и вычитания

Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:

Пример 1

Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:

а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15

б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22

в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43

Пример 2

Применить разные свойства при вычислении разности:

Пример 3

Найти значение выражения удобным способом:

а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

А давайте зададимся.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции. Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

-сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
-умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.

Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Источник

• ← что дает плотность утеплителя
• что дает плюс на минус в физике →