что такое грань выпуклого многогранника ребро вершина
Вершины, рёбра, грани многогранника
«Вершины, ребра, грани многогранника»
Многогранник (многогранная поверхность) – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело. Примером многогранника является куб, параллелепипед, призма и т.д.
Грани многогранника – это многоугольники, из которых составлен многогранник. Например, гранями параллелепипеда являются параллелограммы.
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника.
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
Теорема Эйлера: в любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2.
Леонардо Эйлер (1707 – 1783) – швейцарец по происхождению, выдающийся математик. Большую часть жизни работал в России.
Решить задачу: Начертите произвольный прямоугольный параллелепипед, укажите все его вершины, ребра и грани. Проверьте выполнимость формулы Эйлера.
Выпуклые многогранники: а, б, д
Невыпуклые многогранники: в, г
8 вершин, 12 ребер, 6 граней
Формула Эйлера: 6 + 8 – 12 = 2
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Что такое многогранник? Примеры
Примеры многогранников:
1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.
Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников – граней.
Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.
Популярное
Знакомые каждому с детства коробочки для Биг-Мака и картошки, стаканчик для Кока-Колы так же делают из бумажных разверток.
Может ли многогранник изгибаться? Наверное, это какая-то ошибка? А может это уже и не многогранник? Оказывается, существуют изгибаемые многогранники.
Можно ли представить икосаэдр в виде более простых многогранников.
Молодой британский дизайнер Ричард Суини (Richard Sweeney) создает удивительные скульптуры из.
Студией Артемия Лебедева (https://www.artlebedev.ru/) была предложена форма скворечника в виде многогранника. В качестве геометрической.
У каждого из пяти тел Платона можно определить следующие математические характеристики: 1. Радиус сферы описанной вокруг многогранника; 2. Радиус сферы.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок № 13. Многогранники
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.
Грани многогранника – многоугольники, ограничивающие многогранники.
Ребра многогранника – стороны граней многогранника.
Вершины многогранника – концы ребер многогранника (вершины граней многогранника).
Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его любой грани.
Невыпуклый многогранник – многогранник, у которого найдется по крайней мере одна грань такая, что плоскость, проведенная через эту грань, делит данный многогранник на две или более частей.
Атанасян Л. С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. Для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровния. – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (стр. 58, стр. 60 – 61)
Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников М. : – МЦНМО, 2000. – 40 с.: ил. (стр. 27 – 31)
Открытые электронные ресурсы:
Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Журнал Квант.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
К определению понятия многогранника существует два подхода. Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а). Также многоугольник можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник. Так, любой многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.
Б)
Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника
Вторая трактовка понятия определяет многогранник как геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.
В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия многогранника.
Уже известные вам тетраэдр и параллелепипед являются многогранниками. Потому что они являются геометрическими телами, ограниченные конечным числом плоских многоугольников. Еще один пример многогранника — октаэдр (рис. 2)
Рисунок 2 – изображение октаэдра
Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание».
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.3).
Рисунок 3 – Виды многогранников
Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника
Рисунок 4 – сумма плоских углов пи вершине многогранника
Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В – Р+Г= 2.
Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.
Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани, вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости. Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.
Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид
Б) пространственная фигура
Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является фигура под номером 1.
Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ: 1-А, 2-В, 3-Б
math4school.ru
Многогранники
Основные понятия
Некоторые пространственные фигуры, изучаемые в стереометрии, называют телами или геометрическими телами. Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.
Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Выпуклым называется многогранник, если он расположен по одну сторону плоскости, проведённой через любой многоугольник, образующий поверхность данного многогранника.
Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются его гранями; стороны многоугольников – рёбрами; вершины – вершинами многогранника:
Теорема Эйлера для многогранников:
Если V — число вершин выпуклого многогранника, R — число его ребер и G — число граней, то верно равенство:
Призма
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, которые лежат в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники, о которых шла речь, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.
Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.
Боковые рёбра призмы равны и параллельны.
Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.
Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.
Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы.
A1О – высота призмы;
α – угол наклона бокового ребра к основанию призмы.
Призма называется прямой, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.
Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.
Боковое ребро прямой призмы является её высотой.
Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:
Прямая призма называется правильной, если её основания являются правильными многоугольниками.
Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым рёбрам,являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими, через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани:
ВВ1D1 D – диагональное сечение.
Если в произвольной наклонной призме провести сечение, перпендикулярное боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра, и площадь этого сечения обозначить S⊥, а периметр – Р⊥, тогда:
В любой призме площадь полной поверхности считается как сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:
Параллелепипед
Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом.
У параллелепипеда все грани – параллелограммы.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.
У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Диагональю параллелепипеда, как и многогранника вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Прямоугольным параллелепипедом называется такой прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами.
У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений:
В прямоугольном параллелепипеде верно:
В прямоугольном параллелепипеде, как и во всяком параллелепипеде, есть центр симметрии – точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно парам противолежащих граней. На первом рисунке, приведённом выше, показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда.
Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме трёх названных.
Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то есть он является правильной четырёхугольной призмой, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на втором рисунке.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
Диагональ куба в квадратный корень из трёх раз больше его стороны:
Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками (одно из них показано на рисунке) – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям.
У куба девять плоскостей симметрии:
Пирамида
Пирамидой (например, SABCDE ) называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (пятиугольник ABCDE ) – основания пирамиды, точки ( S ), не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Поверхность пирамиды состоит из основания (пятиугольник ABCDE ) и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды:
Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
Высотой пирамиды ( SО ) называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.
α – угол наклона бокового ребра SA пирамиды к плоскости её основания;
β – угол наклона боковой грани ( SED ) пирамиды к плоскости её основания.
Основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
Основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды:
Площадь полной поверхности любой пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.
Плоскость, которая пересекает пирамиду и параллельна её основанию, делит её на две части:
многогранник, называемый усеченной пирамидой ( AВСA1В1С1 ).
Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.
Высота усеченной пирамиды ( ОО1 ) – это расстояние между плоскостями её оснований.
Если S1 и S2 – площади оснований усечённой пирамиды и h – её высота, то для объёма усеченной пирамиды верно:
Пирамида (например, SABCD ) называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник ( ABCD – квадрат ), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника ( О – центр описанной и вписанной окружностей основания).
Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.
Боковые ребра правильной пирамиды равны.
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды ( SL ), проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой.
Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:
Усеченная пирамида (например, АВСDA1В1С1D1 ), которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной.
Правильные многогранники
Тетраэдр Куб Октаэдр
Додекаэдр Икосаэдр
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.
У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.
У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.
У икосаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.
Правильные многогранники в геометрии с примерами
Пусть есть плоский многоугольник 
Многогранный угол называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости любой его грани. Многогранный угол на рисунке 228 выпуклый, а на рисунке 229 — невыпуклый. По количеству граней многогранные углы разделяют на трехгранные, четырехгранные и т. д.
Теорема 12.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Доказательство:
Установим сначала, что каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его углов.
Пусть есть трехгранный угол 
(рис. 230). Пусть для определенности угол 
— больший из плоских углов трехгранного угла. В плоскости грани 
от луча 
отложим угол 
, равный углу 
, и на лучах 
и 
отложим равные отрезки 
и 
. Через прямую 
проведем такую плоскость, которая пересекает ребра 
и в некоторых точках 
и 
. Треугольники 
и 
равны, так как у них сторона 
общая, и по построению равны углы 
и 
, а также стороны 
и 
. Значит, 
Далее по свойству сторон треугольника получаем 
или 
или 
Теперь, поскольку у треугольников 
и 
сторона 
общая, стороны и равны, но 
, то 
Прибавив к левой и правой частям этого неравенства соответственно углы и , которые равны друг другу, получим, что 
или 
Пусть теперь есть выпуклый многогранный угол с вершиной 
(рис. 231). Если пересечь его какой-либо плоскостью, то в сечении получим многоугольник 
каждая вершина которого является вершиной трехгранного угла, образованного двумя гранями данного угла и секущей плоскостью. По доказанному для этих трехгранных углов получаем:
Сложим покомпонентно эти неравенства:
Теперь обратим внимание на то, что сумма в левой части последнего неравенства есть сумма углов многоугольника 
которая равна 
а в правой — сумма углов всех треугольников 
но без их углов при вершине , которая равна 
где 
выражает сумму плоских углов данного многогранного угла. Таким образом,
Многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и все двугранные углы равны друг другу, называется правильным многогранником.
Из этого определения следует, что у правильного многогранника равны друг другу все его:
Теорема 13.
Количество ребер, сходящихся в каждой вершине правильного многогранника, не больше пяти.
Доказательство:
Допустим, что это не так, т. е. в вершине многогранника сходится шесть или больше ребер. Тогда при этой вершине многогранник имел бы шесть или больше равных плоских углов. Учитывая, что сумма этих углов меньше 360°, получаем, что каждый из них меньше 60°. Но это невозможно, поскольку гранями правильного многогранника являются правильные многоугольники, а у них углы не меньше 60°.
Теорема 14.
Количество сторон правильного многоугольника, являющегося гранью правильного многогранника, не больше пяти.
Доказательство:
В каждой вершине правильного многогранника сходится не менее трех плоских углов, а поэтому каждый из них должен быть меньше 120°. Вместе с этим угол правильного шестиугольника равен 120°, а угол правильного многоугольника с большим количеством сторон больше 120°. Поэтому правильные многоугольники, количество сторон которых больше пяти, не могут быть гранями правильного многоугольника.
Теорема 15.
Есть пять типов правильных многогранников.
Доказательство:
В соответствии с теоремой 14 гранями многогранника могут быть правильные треугольники, четырехугольники или пятиугольники.
Если гранями правильного многогранника служат треугольники, то, с учетом теоремы 13, в вершинах многогранника могут сходиться три, четыре или пять ребер. Если гранями правильного многогранника служат четырехугольники или пятиугольники, то в вершинах многогранника может сходиться только три ребра. Значит, существует не более пяти видов правильных многогранников.
Чтобы убедиться, что такие виды многогранников существуют, достаточно указать способ построения каждого из них.
Прежде всего отметим, что правильным многогранником, гранями которого служат правильные четырехугольники, т. е. квадраты, является куб, который еще называют правильным гексаэдром. Куб можно построить так. В произвольно выбранной плоскости построить квадрат, через его стороны провести плоскости, перпендикулярные выбранной плоскости, и провести еще одну плоскость, параллельную выбранной плоскости и отстоящую от нее на сторону квадрата (рис. 232). Мы видим, что гексаэдр имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
Построение многогранника, в каждой вершине которого сходится по три треугольные грани, может быть таким. Построить куб. Выбрать одну из его вершин 
и в каждой грани с этой вершиной выбрать вершину, противолежащую вершине 
. Пусть это вершины 
, 
, 
. Точки , , , 
являются вершинами искомого многогранника (рис. 233). Действительно, каждый из отрезков 
является диагональю одной из граней куба, а поэтому все эти отрезки равны друг другу. Получается, что в треугольной пирамиде 
все грани являются правильными треугольниками. Такая пирамида называется правильным тетраэдром. Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Построение многогранника, в каждой вершине которого сходится по четыре треугольные грани, может быть таким. Построить куб и найти центры шести его граней (рис. 234). Эти точки являются вершинами многогранника, все грани которого — правильные треугольники. Такой многогранник называется правильным октаэдром. Октаэдр имеет 8 граней, 12 ребер и 6 вершин.
Построение многогранника, в каждой вершине которого сходится по три пятиугольные грани, можно выполнить, снова используя куб. Если через каждое из двенадцати ребер куба провести плоскость, которая не имеет с поверхностью куба других общих точек, кроме точек этого ребра, то полученные 12 плоскостей при пересечении дадут грани некоторого многогранника. Можно так подобрать наклон этих плоскостей к граням куба, что грани этого двенадцатигранника будут правильными пятиугольниками (рис. 235). Такой многогранник называется правильным додекаэдром. Додекаэдр имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин.
Наконец, многогранник, в каждой вершине которого сходится по пять треугольных граней, можно построить, используя додекаэдр: центры граней додекаэдра являются вершинами искомого правильного многогранника (рис. 236). Такой многогранник называется правильным икосаэдром. Икосаэдр имеет 20 граней, 30 ребер и 12 вершин.
Таким образом, есть пять типов правильных многогранников.
Названия правильных многогранников происходят из греческого языка. Термин тетраэдр, по-гречески 
означает четырехгранник: 
— четыре и 
— грань. Соответственно термины гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, по-гречески 
, 
, 
, 
, означают шестигранник, восьмигранник, двенадцатигранник, двадцатигранник: 
, — шесть, 
— восемь, 
— двенадцать, 
— двадцать.
Мы знаем, что правильные гексаэдр и тетраэдр имеют описанный и вписанный шары. Также описанный и вписанный шары имеют октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Центры этих шаров совпадают, и эта точка является центром симметрии соответствующего правильного многогранника, кроме тетраэдра, который не имеет центра симметрии.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.