что делать если в дискриминанте отрицательное число
Дискриминант
Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение \(b^<2>-4ac\), где \(a, b\) и \(c\) – коэффициенты данного трехчлена.
Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Дискриминант и корни квадратного уравнения
Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
— если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
— если \(D\) равен нулю – только один корень;
— если \(D\) отрицателен – корней нет.
Если дискриминант положителен
В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_<1>\) и \(x_<2>\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt
Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение:
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
Найдем корни уравнения
Получили два различных корня из-за разных знаков перед \(\sqrt
Если дискриминант равен нулю
А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.
То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.
Пример: Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение:
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
Находим корни уравнения
Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.
Если дискриминант отрицателен
В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.
Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+x+3=0\)
Решение
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
Находим корни уравнения
Оба корня содержат невычислимое выражение \(\sqrt<-11>\), значит, и сами не вычислимы
То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение \(x^2+x+3\) получился ноль.
Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.
Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!
Как найти дискриминант квадратного уравнения
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.
Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.
Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Есть три вида квадратных уравнений:
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:
В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:
Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.
Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:
Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Ответ: корень уравнения 3.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём
Квадратный многочлен, как искать его корни
Как это значение показывает наличие вещественных корней:
Варианты расчётов для закрепления материала
Использование дискриминанта в вычислении корней
Эта вспомогательная конструкция не только показывает количество вещественных решений, но и помогает их находить. Общая формула расчёта для уравнения второй степени такова:
Результат приравнивания квадратного выражения к нулю вычисляется согласно алгоритму:
Некоторые частные случаи
В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:
Если свободный член нулевой, то корни будут
Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.
Приведенное уравнение второй степени
Важно отметить, что i * w ^ 2 + j * w + k = 0 удастся привести путём деления на «i». Результат будет: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, где j1 равно j / i и k1 равно k / i.
Чётный второй множитель
Более высокий порядок дискриминанта
Рассмотрим i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.
Решение квадратных уравнений
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.
Дискриминант
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Первое уравнение:
x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Решение неполного квадратного уравнения
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобку
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · ( x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен:
Пример 42.4. Решить уравнение: 
.
.
Тогда 
.
Ответ:
Видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение имеет решения на множестве комплексных чисел. В ответе получаются два сопряженных комплексных числа. Это очень важный результат: теперь мы знаем, что абсолютно любое квадратное уравнение имеет два корня на множестве комплексных чисел.
Подобное утверждение, известное под названием «основная теорема алгебры», было доказано Гауссом в конце XVIII века: любое алгебраическое уравнение п-й степени имеет п комплексных корней (при этом некоторые корни являются кратными). Эти результаты подчеркивают ту исключительную роль, которую играют комплексные числа в теории алгебраических уравнений.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет