что делать если полный ноль в математике
Философия нуля
В математике, как и везде, есть запретные понятия, и любая серьезная попытка раскрытия этих понятий сообществом встречается в штыки, выливаются тонны негатива на пытающегося поднять эту тему. В математике эти понятия — это ноль и бесконечность.
Однажды, чтобы понять сложность полной остановки деятельности, я решил поставить эксперимент над собой. В каком состоянии человек ничего не делает? Как минимум когда спит без снов, поэтому я решил по-максимуму отоспаться (не называйте меня лентяем), тем более случай попался подходящий под условия эксперимента — я попал в больницу, меня не дергали, я был предоставлен сам себе, еду приносили в палату и у меня было много времени на сон (вся ночь и почти целый день).
И вот старт. Где-то первые три дня у меня был глубокий сон, за счет имеющийся усталости. Потом я постепенно стал терять ощущение времени, и мне стало все труднее сказать сколько прошло времени с начала эксперимента, но я упорно старался спать, в какой-то момент сон становился все более и более поверхностным, я чаще просыпался и чаще старался уснуть. В какой-то момент времени я осознал, что тупо забыл как заснуть — как будто этот участок памяти кто-то взял и удалил — в моей памяти не было такой информации, попытки вспомнить ни к чему не привели, а обращаться с таким вопросом к кому-то, посчитал лишним — сочтут за сумасшедшего. Эксперимент пришлось аварийно завершить. Заснуть не зная как это сделать было в принципе не возможно.
Выписавшись из больницы, через какое-то время я стал анализировать результат. Длительный сон оказался как-то связан с моей памятью о том как уснуть… это было более чем странно, до этого я никогда не испытывал подобных проблем. Как будто некая внешняя сила противодействует твоему долгому сну — ей нужно чтобы ты какое-то время бодрствовал. Я стал сравнивать это с предыдущим опытом, когда я пытался наоборот не спать как можно дольше. Но и выводы были те же — возникала внешняя сила, пытающаяся меня усыпить, вопреки моему желанию не спать. Меня как будто поставили между двух рамок — первая, ты должен хотя бы немного спать, вторая, ты должен хотя бы немного не спать. Эти ограничители — биологические ритмы человека связанные со сменой дня и ночи. Выход за флажки — табу. Кому придет мысль взять под контроль свои биологические ритмы? Может йогу, но я не йог. Эти ритмы похоже на то, как человек идет направо — его все больше тянет налево, идет налево — все больше тянет вправо, пытается взлететь вверх — гравитация тянет вниз, пытается закопаться — становиться все труднее выбрасывать землю из ямы.
Если хочешь чтобы на тебя не действовала внешняя сила — сядь в центре этой силы (где угодно по сути), желательно в позе лотоса. И потом начинай параллельно останавливать одну биологическую систему за другой: дыхание, биение сердца. Не верите? Где-то в Индии был йог, который все это сделал и как бы «умер» на 30 лет (вроде) и потом опять смог запустить все свои биологические системы, все 30 лет его ученики не давали никому его похоронить.
Но получается что и он не смог остановиться насовсем? Что-то в нем не умерло, значит и он не смог дойти до нулевого действия. Звучит безумно, но я сейчас поясню.
В квантовой физики, квант действия — это постоянная Планка и (о, чудо) она больше нуля, и дальше не разделяется (не квантуется) по определению самого кванта — это минимально возможное действие в мире КФ. Но так ли это в реальности? Хотите сказать я не могу отказаться от действия? Получается так — мир очень сильно противодействует недействию. Тогда я стал искать примеры практик недействия в реальности, и они нашлись. Самой завораживающей оказалось смотрение на самого себя (желательно в затемненной комнате) в зеркало от 15-40 минут, не моргая. Попробуйте — у Вас будет куча впечатлений видения себя в видах — от зверя до полной пустоты в отражении (очень пугает кстати).
И тут я вспомнил, что в математике ноль — вообще-то тоже запретное число, на него тупо нельзя делить — аксиома. А деление 0/0 объявляется неопределенностью — все прям как в квантовой физике, где тоже существует принцип неопределенности Гейзенберга.
Тогда мне пришла в голову безумная мысль, а что если постоянная Планка = 0? Но мир скрывает это знания о нуле, прикладывая нехилую энергию противодействия, как показали эксперименты выше.
Наименее зашаблоненые математики и физики скажут, что все их теории тогда можно будет выбросить на свалку истории. Если нет кванта (или он равен нулю) — то нет и квантовой физики. Не многие выкинут такие знания на свалку, но видимо придется, или придется их немного видоизменить.
Например, формулы энергии и действия —
(Постоянная планка больше нуля)
придется переписать в виде —
(Неопределенность вида ноль на ноль)
Что это значит в реальности эта неопределенность? А то что жизнь, как бы говорит, при приближению к недвижению энергия\действие внешней силы заранее неизвестно, в каждый конкретный момент в недвижении можно ожидать любого действия от внешней силы на ваши попытки остановиться — вам могут стереть часть памяти, могут добавить память о чем-то, могут показать образ зверя в зеркале (пример выше) или вообще отсутствие отражения, чем больше продолжается недействие — тем больше вам покажут различных вариантов, пытаясь выбить вас из колее (отсутствие отражения вызывает страх и обычно выбивает из состояния недействия мгновенно).
Скажите бред? Я очень начал сомневаться в своих «знаниях» с некоторых пор. Одно из двух — либо я схожу с ума, либо мир устроен до предела безумно. Про часть такого безумия я уже писал на хабре — habr.com/ru/post/343228 Смысл в том что если (по ссылке) вертикаль есть (разрыва нет, постоянная планка = 0), то все что там и здесь написано — может навести на глубокие размышления — а так ли много я понимаю? Но если вертикали нет (есть разрыв, постоянная Планка больше нуля), то и квантовая теория имеет какой-то смысл и можно спать спокойно (хотя и здесь нет никакого спокойствия, когда мир прерывист и состоит из горы пустых промежутков возникает аналогия мира без мостов, мира разделенного и нецельного по своей сути). Я пока склоняюсь, исходя из своего опыта, к первому варианту.
Надеюсь, кто-нибудь задумается. Уже это будет победой.
Я не хочу вас освятить своей верой, а любое знание в большей или меньшей степени основано на вере. Хотя глубоко верю в то, что говорю. Я лишь хочу подтолкнуть вас к развитию самостоятельного цельного мышления. Не все то золото, что блестит, и если, например, вам нравиться математика или физика, это не делает их основы безупречными, эти науки созданы человеками, а им, как известно, свойственно ошибаться, особенно в мелочах (а ноль самая что ни на есть мелочь) — дьявол кроется как раз здесь… Только не думайте всерьёз, что постоянная Планка равна нулю, просто подумайте возможно есть и другое решение — например, «постоянная» Планка непостоянна…
Умножение на ноль — правило в математике и примеры
История возникновения
Ноль означает ничто, пустоту. Он используется для обозначения пустых разрядов чисел в позиционной системе счисления, а также в десятичных дробях до и после запятой. Вокруг этой цифры всегда велось много споров. Использовать ноль начали еще в древности, о чем свидетельствуют трактаты вавилонян и надписи майя.
Но повсеместно применять в вычислениях его начали лишь спустя несколько тысячелетий. Это произошло в Индии. Нулю там придавали не только математический, но и философский смысл. Он означает отсутствие всего, а его форма соответствовала кругу жизни.
Индусы использовали 0 как любое другое число. Его складывали, вычитали, на него умножали. С делением на 0 возникла проблема, но благодаря ей в дальнейшем возникла другая область математики — математический анализ. Идею использования нуля подхватили исламские ученые на Ближнем Востоке и внесли его в арабскую систему счисления.
В Европе до Крестовых походов применялась Римская система счисления. Это непозиционная система, и ноль в ней отсутствует. Делать расчеты в ней очень тяжело. Для вычислений использовали специальные разграфленные таблицы — абаки. Расчеты с их применением производились часами, в то время как сегодня любой школьник сможет легко получить результат, например, перемножая или складывая числа в столбик.
Во времена первых Крестовых походов арабские цифры вместе с нолем и позиционной системой счисления пришли в Европу. К этим новшествам сначала отнеслись с большим недоверием. Во Флоренции даже был издан закон о запрещении использования арабских цифр вместе с нулем.
Считалось, что они поощряют мошенничество: 0 легко переделать на цифру 9 или приписать в конце счета, чтобы величина долга возросла многократно. Лишь в XV веке, когда началось развитие в сфере математики и механики, люди оценили преимущество нуля и арабских цифр и стали использовать их повсеместно.
Сложение, умножение, степень
В математике используется несколько действий. Они следующие:
Сложение с нулем обычно вопросов не вызывает. Если к любому числу добавить 0, это значит, что к нему не прибавилось ничего. Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй. То же самое будет, если отнять ноль.
Операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на ноль получается ноль. Это объясняется особенностями операции умножения. Изначально ее определяли как число, прибавленное к самому себе определенное количество раз, что справедливо для натуральных чисел. Так, 5 х 3 = 15. Этот пример можно заменить следующим выражением: 5 + 5 + 5 = 15. То есть число 5 было взято 3 раза. Согласно этому правилу, умножение на 0 числа 5 дает нулевой результат, и 5 х 0 = 0.
Чтобы было нагляднее, можно привести следующий пример:
Иногда юные скептики выдвигают следующее возражение: допустим, у мальчика в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся в него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Действительно, яблоки из руки никуда не денутся. Но в примере учитываются лишь те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке у мальчика. В последнем случае они туда не попали.
Правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел:
В любом случае произведение будет нулевым. С нулем можно производить следующие действия:
Деление на ноль
Математики говорят, что четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление неравноправны. Базовыми считаются первое и третье из них (сложение и умножение), а деление и вычитание — производными.
Например, разность между 5 и 2 равна 3. Это действие также можно записать в виде следующего выражения: Х + 2 = 5. Решением уравнения будет число 3. Аналогичное правило действует и для умножения. Деление 6 на 3 можно записать так: Х * 2 = 3.
Для действий с нулем можно использовать следующий прием. Выражение записывают так: Х * 0 = 0. Здесь X может быть равен любому числу. Из этого следует, что невозможно найти число, умножение которого на 0 давало бы произведение, отличное от 0.
Если попытаться найти результат от деления ненулевого числа (например, 5) на ноль, то это действие можно записать так: Х * 0 = 5. Так, при умножении любого числа на ноль получается ноль, у этого уравнения в арифметике нет решения.
Раскрытие неопределенностей
Действиями, связанными с делением на 0, занимается один из разделов высшей математики — математический анализ. В нем используется такое понятие, как бесконечность (бесконечно большая величина). Одно из ее определений — это предел, к которому стремится выражение а/Х при Х, стремящемся к нулю. Здесь а — любое ненулевое действительное число. Если в этом выражении уменьшать значение X, то результат будет увеличиваться, пока, в конце концов, не подойдет к бесконечности. С этой величиной можно делать различные математические действия:
В результате получится бесконечность. Следующие выражения дают в результате полную неопределенность:
Задачи с неопределенностями возникают при вычислении пределов функций, которые заданы формулами, дающими подобные выражения при подстановке предельных значений аргумента. Математики говорят, что результатом таких уравнений будет бесконечное множество чисел. Обычно для их решения используют различные схемы и алгоритмы. Это называется раскрытием неопределенности.
Над нулем можно проделывать все арифметические операции. Единственное ограничение — он не может быть делителем для любого действительного числа. Результатом деления ненулевого числа на ноль в высшей математике считается бесконечность, а деление нуля на ноль дает неопределенность. В арифметике подобные действия считаются невозможными и бессмысленными.
Что делать если полный ноль в математике
Это одна из главных школьных наук.
Познакомившись на уроке математики с цифрой ноль, мы с ребятами задумались, если цифры нужны для счета, то для чего нужен ноль, который ничего не исчисляет и обозначает пустоту? Если у нас ноль конфет, считать вообще нечего — зачем тогда о них говорить?
Цифры все хоть что-то значат,
Только ноль несчастный плачет
Он не значит ничего, будто бы и нет его
Девять с ним дружить не хочет
Восемь голову морочит
Семь, шесть, пять смеются вслед
И четверке дела нет
Стали три и два дразниться.
И пошел Ноль к единице
Позади её он встал
И ничем быть перестал.
Даже в этом отрывке из шутливого стихотворения [2] мы видим, что все цифры плохо относятся к цифре ноль. Справедливо ли такое отношение к нулю? Действительно ли бесполезна эта скромная цифра? Отвечая на эти вопросы, мы поставили перед собой следующую цель: исследовать роль и значение цифры ноль в математике и повседневной жизни.
Цель работы: исследовать роль и значение цифры ноль в математике и повседневной жизни.
Для достижения этой цели мы должны решить следующие задачи:
выяснить, как появилась цифра ноль и что она означает;
найти и собрать интересные факты о цифре ноль;
провести среди одноклассников исследование об отношении к цифре ноль;
выявить подтверждения значимости нуля в современном мире.
сделать на основе проведенной работы выводы и заинтересовать одноклассников изучением математики.
Объект исследования – цифра ноль.
Предмет исследования — ноль в математике и повседневной жизни.
Гипотеза исследования : предположим, что ноль ничего не обозначает, сможем ли мы тогда без него обходиться и в математике, и в жизни.
1. История возникновения цифры ноль.
Начнем с истории появления цифры. Когда же появился ноль? На протяжении тысячелетий люди обходились без ноля, хотя математики разных стран пытались использовать различные знаки для обозначения «пустоты», ведь нужно было как-то записывать результат в примерах типа:
Первыми придумали присвоить нулю символ вавилоняне в начале тысячелетия, это был не, привычный для нас, «кружок», а два клинышка, но обозначал он уже именно «пустоту» [1].
И лишь начиная с V века индийские математики стали употреблять знак ноля. Сначала его обозначали как точку, а потом уже как кружок меньший, чем другие цифры. До открытия нуля древние римляне пользовались римскими цифрами, где вообще не было нуля [1].
2. Роль нуля в математике.
Рассмотрим известные нам арифметические действия с нулем: сложение и вычитание. Теперь, имея в распоряжении обозначение числа 0 можно решить примеры: 1-1=0, 2-2=0
То есть, если вычесть из числа его само в результате получим 0.
Если прибавить или отнять от любого числа ноль, число не изменится.
Цифра ноль означает «ничего», когда она стоит отдельно от других чисел. Но без него нельзя написать десятки, сотни, тысячи. Если мы уберём ноль от числа 10, оно превратится в единицу.
Уберём всего лишь два, ничего не значащих, ноля от сотни, и она превратится снова всего лишь в единицу.
И, наоборот, дописывая справа от 1 различное количество нулей можно получать самые разные, в том числе и очень большие числа: 10, 100, 10 000 000 и т.д.
3 Интересные факты о цифре 0.
Следующий вопрос, который мы хотели выяснить – какие существуют интересные факты о цифре 0?
Разыскивая информацию о цифре ноль, мы узнали, что в центре города Будапешт (Венгрия) находится памятник нулю. Ноль – это вообще единственная цифра, которой поставлен памятник.
Гуляя по нашему городу Волгограду в Центральном районе на площади Павших Борцов, мы видели знак нулевого километра, с этого места начинаются все дороги Волгоградской области.
А вы замечали, что ноль всегда рядом с нами?
Ведение счёта в спортивных играх:
На любом калькуляторе после его включения сразу появляется цифра 0.
В полночь на электронных часах появляются четыре нуля. Начинается новый день!
Если вы заскучали, на помощь придет игра «Крестики-Нолики»
А это известный всем детям герой мультфильма «Фиксики», и он тоже Нолик!
Изучая информацию о цифре 0, мы обнаружили, что в некоторых выражениях употребляется написание ноль, а в некоторых нуль и решили выяснить, как же, все-таки, правильно?
Мы просмотрели несколько словарей русского языка [5,7] и узнали, что правильно говорить и писать оба варианта. Но в некоторых устойчивых выражениях употребляется только нуль, например: равно нулю, начать с нуля, а в некоторых только ноль, например, в выражениях: счёт ноль-ноль, ноль внимания, ноль без палочки.
5 Ноль глазами первоклассников
Следующая часть нашего исследования – опрос одноклассников.
Мы разработали анкету, которая содержала следующие вопросы:
1. Знаете ли вы цифру 0:
2. Можете ли вы написать, что означает цифра 0?
3. Какое получится число, если справа от цифры 1 написать цифру 0?
5. Есть ли страница в чем разница» rel=dofollow»>страница с номером 0 в учебниках и книгах?
6. Как вы считаете, цифра 0 важная или нет?
В опросе принимали участие 28 учеников.
Исследование показало следующее:
цифру 0 знают все одноклассники – 100%
25 (89%) понимают, что без цифры 0 не получится числа 10;
26 (93%) из 28 (100%) правильно складывают и вычитают цифру 0;
3 ученика (10%) из 28 (100%) считают, что в книгах есть страница в чем разница» rel=dofollow»>страница с номером 0;
все одноклассники (100%) считают, что правильно говорить ноль;
для 16 учеников (57%) цифра 0 – важная цифра, для остальных 12 человек (43%) – нет.
Проведенный опрос показал, что пока не все ученики понимают важность цифры 0. После опроса мы поняли, что нужно рассказать ребятам про эту замечательную цифру.
6 Занимательные задания с нулем
Мы подобрали несколько интересных заданий, в которых участвует ноль.
1. Задание на внимательность: найдите на картинке 19 нулей.
На дубе три ветки, на каждой ветке по 2 груши
(Ответ: ноль, на дубе не растут груши).
На ветке сидит 4 воробья. Подкрался кот, схватил одного.
(Ответ: ни одного, все воробьи улетели)
4. Загадки про ноль:
Он похож на колобок
Он пузат и круглобок
На него похожа кошка
Если сложится в клубок
Цифра меньше единицы,
Без неё не обойтись,
Ничего не исчисляет,
Дай ответ ты, потрудись!
В дальнейшем мы планируем познакомить ребят и с другими интересными заданиями, в которых используется цифра ноль, а также продолжать изучать и другие цифры. А для поддержания интереса к процессу изучения математики советуем познакомиться с замечательной книгой “ПРИКЛЮЧЕНИЯ НУЛИКА”. Эта сказка, которую придумал преподаватель математики, а впоследствии детский писатель Владимир Лёвшин о числах, их загадках и математических странностях.
После проведенного исследования мы выяснили, когда и где появилась цифра ноль, узнали, что с нулем связаны важные правила в математике, собрали интересные факты об этой цифре, провели среди одноклассников исследование об отношении к цифре ноль.
В результате пришли к выводу, что несмотря на то, что самостоятельно ноль означает «ничего», он необходим для записи чисел, обозначения результата вычитания из числа самого себя, что ежедневно нам приходится сталкиваться с этой цифрой в окружающем мире, и что пока не все ребята понимают роль и значение нуля, так как мы только начали изучать волшебный мир цифр.
Выполненная работа позволяет сделать заключение, что наша гипотеза ошибочна, что цифра ноль важна и нужна не только в математике, но и в повседневной жизни.
Данный материал можно использовать на уроках и факультативах по математике.
Список использованных источников и литературы
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.:Изд-во «Наука» 1968. – 416 с.
Королевство чисел. Сказка в стихах про цифры и числа Пьесы и сценарии для кукольного театра/ https://www.olesya-emelyanova.ru/ index-skazki.html.
Левшин В.А., Александрова Э.Б. Приключения Нулика. Путешествие в мир математики. –М.: ИД Мещерякова 2019. – 496 с.
Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка: 80000 слов и фразеологических выражений. – М.: ООО «ИТИ ТХНОЛОГИИ» 2003. – 944 с.
Ушаков Д.Н., Крючков С.Е. Орфографический словарь. – М.:Учпедгиз 1961. – 208 с.
Делить на ноль — это норма. Часть 2
В прошлой части мы расширяли алгебру и смогли делить на ноль арифметически. В качестве бонуса, способ оказался не единственным. Однако, все эти алгебры не дали ответа на вопрос: “Что там внутри или почему нам это не показывают?”
Пока древние вязали узелки, такой вопрос возникнуть не мог. Сейчас, куда не глянь, “бла-бла, для а≠0”. Значит ответ затаился где-то между узелками и настоящим. В математике все строго и последовательно, а значит и ответ не мог потеряться.
Мы попробуем приблизиться к ответу настолько близко насколько это возможно. Эта часть практически полностью посвящена философии арифметики. Скорее всего часть материала будет для Вас тривиальной. Однако у нас тут не повтор школьного курса арифметики.
Материал построен так, чтобы выделить структуру арифметики. Мы будем вгрызаться в нее с разных сторон и отрывать слои. Цель — понять, что на чем лежит.
2. Истина где-то рядом
2.1 Зачем вообще напрягаться?
Чтобы снова броситься в дебри, хотелось бы понять, почему этот вопрос периодически возникает и ради чего стоит искать ответ.
Давайте вспомним школьные годы, то время, когда нам впервые сказали: “На ноль делить нельзя, — вот так вот категорично. — Нельзя и все!”. А ведь до того в математике все было логично и последовательно. Складывали арбузы и вычитали дыни, яблоки перекатывали. Откуда не возьмись, на самом старте изучения математики, появился первый запретный плод.
Но система образования не щадит никого (пруф). Нет другого выхода, кроме как идти дальше и осваивать новые знания. В голове происходит “скачок знаний”, как будто тысячелетие эволюции математики было пропущено. И это только начало.
«… не нужно проявлять лишней поспешности, нужно дать время ученику освоиться с тем внутренним переворотом, который в нем совершается в результате акта познания”, — Ф. Клейн, “Элементарная математика с точки зрения высшей”
В старших классах, откуда ни возьмись, появляются формулы окружности и треугольников, дискриминант, тригонометрические тождества и т.п. Что их объединяет? Все они пришли сверху, совершенно неизвестно откуда. Их нужно просто использовать, в худшем случае зазубрить.
Оказавшись в ВУЗе, большинство, вместо возвращения к пропущенному материалу, изучает «вышку» с уклоном в специальность. Объем формул, пришедших свыше, уже совершенно не смущает.
Да, систему образования понять можно. Специалисту платят за результат, а не за то что он знает откуда экспонента в его расчетах.
В итоге мы не приходим к выводам, так как это делают математики. В момент “скачка знаний”, то есть когда мы отбрасываем часть логических цепочек, вершится таинство. Мы принимаем на веру то что нам говорят. Учебник превращается в священное писание!
Запрет деления на ноль — это первый и самый навязчивый запрет математики. Поэтому он запоминается на всю жизнь. Это так же педагогическая проблема, которая оставляет отпечаток на всю математику, как на “тайну покрытую мраком”. Это сложная проблема, по сравнению с ней найти большинство пропущенных логических цепочек не составляет труда.
Превратить священное писание назад в учебник можно. Причина запрета должна стать строго определенной. Задача педагогов преподнести ее ясно. Наука не должна сеять сомнения.
2.2 Что такое деление?
Деле́ние (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению. Деление — это такая операция, которая считает сколько раз одно содержится в другом.
Похоже, самое полезное, что мы здесь нашли — это связь между операциями. Можно сказать что деление — вино третьего отжима, умножение и вычитание — второго, а сложение — первого. Возможно, именно по этой причине деление стало давать сбой при работе с нулем.
2.3 Порождающие операции
Итак, только операция сложения содержит правило о том, как по двум исходным аргументам (слагаемым) определить результат операции (сумму). Все остальные арифметические операции используют данное правило (соответствие чисел), но вдобавок накладывают свои “дополнительные условия”.
Определение результата операции, в общем случае, задача не тривиальная.
Все прямые операции обладают одним свойством. Они являются замкнутыми. То есть тип результата полностью определяется типами входных чисел (невозможно получить из произведения двух целых чисел дробный результат).
Обратные операции являются замкнутыми только частично (значение корня из целого числа может оказаться целым числом, а может и не оказаться). В тех случаях, где подобрать результат не удается операция оказывается не определена. Данную проблему издавна решают простым способом: рассматривают получившуюся запись операции и числа как новый тип чисел: .
Таким образом, можно сказать что обратные операции и “порождают” новые типы чисел.
Деление одна из порождающих операций. Возможно, в процессе рождения что-то пошло не так и новорожденный получил травму. Для того чтобы ответить на это вопрос нужно понять откуда взялось деление и откуда взялся ноль.
2.4 Эволюция арифметики
Попробуем структурировать наше представление об арифметических операциях и порождаемых ими типах чисел. Для наглядности представим один из вариантов, как может идти эволюция арифметики.
2.4.1 Область определения
Мы в пещере. С умением считать никто не родился. Однако в процессе “созерцания” появилось понимание, что такое понятие “количество”. То есть мы знаем что два мамонта и два яблока имеют нечто общее и можем это выразить, загибая пальцы. Соответственно ничего, кроме натуральных чисел на этом этапе мы не знаем.
Множество натуральных чисел помечено звездочкой “*” для однозначности. Здесь и далее подчеркивается отсутствие понятия “ноль”.
Есть несколько формальных определений последовательности натуральных чисел. Мы возьмем за основу аксиомы Пеано. Примечательно что эти определения не были описаны древними. Они появились только в 19 веке, а после прошли процедуру уточнения (в первоначальном варианте их было девять, в современном виде уже пять).
Рассмотрим формальные определения и их суть в рамках нашей задачи (традиционное словесное описание можно найти на Википедии):
Например. Для чисел 2 и 3, верно что между ними есть один средний элемент 2.5, для 3 и 4 это 3.5 и т.д. Делаем вывод, между любыми соседними натуральными числами есть средний элемент и он единственный.
Какой вывод можно сделать из этих аксиом? Вводится запрет на закольцованность в любом виде (глобальную или локальную). Запрет на закольцованность всегда требует наличие следующего элемента. Так появляется математическое понятие “бесконечность” основанное на понятии «количество”. Понятие “бесконечность” не может существовать без понятия „количество”.
Довольно часто за “стартовый элемент” в аксиомах Пиано берут ноль. Почему так делать нельзя, будет раскрыто при описании операции “вычитание” (уже совсем скоро).
Функция следования не использует операцию сложения в прямом смысле этого слова. Это фундаментальная функция, которая используется как для построения множества натуральных чисел, так и для формального определения операции сложения.
То есть и числа и арифметические операции определены при помощи функции следования.
Функция следования входит в класс примитивно рекурсивных функций, рассматриваемых в теории алгоритмов. Как известно, понятие рекурсия не содержит требования ее конечности (достижимости терминальных ветвей), а значит она так же неявно определяет понятие “бесконечность”.
2.4.2 Сложение
Первая операция, возникшая в ходе нашей эволюции. Как целые пальцы не загибай, результат будет целым. Разве что у вождя сумма пальцев может быть чуть больше чем у всех остальных. Если пальцев не хватает, всегда можно позвать научного ассистента по пещере и расширить разрядную сетку.
2.4.2 Вычитание
В четверг охотники подстрелили 12 мамонтов. За пятницу съели 5 штук. Сколько мамонтов осталось?
Задача хорошо решается путем введения разгибания пальцев. Но подход работает не всегда. Например, чтобы оценить запасы на выходные охотник загибает семь пальцев за остаток, разгибает пять пальцев за субботу (норма расхода в день) и “пытается” разжать за воскресенье.
В этот момент между “try” и “catch” возникает ArithmeticException. Результат оказывается не определен. Наша операция определена только для случая, когда уменьшаемое больше вычитаемого.
Однако определение вычитания не накладывает никаких ограничений. Чтобы избавиться от требования “a > b” введем “правило перестановки”. То есть позволим менять местами уменьшаемое и вычитаемое. Но чтобы тождество оставалось верным результат нужно пометить каким-то маркером, например знаком “минус”. Всякие маркеры для математики — дело обычное (например, признак отсутствия нуля у ).
За счет вспомогательной операции “перестановки” мы подошли к первой абстракции — “отрицательные числа”. Пометка в виде знака “минус” у натурального числа есть ничто иное как признак отложенного вычитания (но это только пока).
У нас остался всего один не определенный случай, когда уменьшаемое и вычитаемое равны. Если мы захотим определить его, то нам придется ответить на вопрос что такое понятие “ничто”. Хотя к чему все эти сложности, обозначим “ничто” символом “0” (позже вникнем по полной).
Осталось зафиксировать наше решение в виде “правил сложения/вычитания нуля”. Они следуют из определения нуля после пары нехитрых перестановок:
Посмотрим, насколько хорошо работают введенные правила. Решая уравнения, мы по двум известным числам всегда можем найти неизвестное третье. Совершенно неважно в какой части уравнения оно стоит, решение всегда однозначно.
Отрицательные числа появились в результате перестановки, ноль же заполнил “ничто”. Отрицательные числа и ноль рождены разными способами. Далее мы будем рассматривать две ветви эволюции: отдельно всех чисел без нуля и отдельно ноль.
2.4.3 Умножение
Умножение по определению является сокращенной записью сложения. Умножая натуральные числа, результат может быть только натуральным. На этом этапе эволюции для нас польза от определения заканчивается.
Для отрицательных чисел в определении нет ни слова о том как их перемножать. Эти правила сформировались постепенно в ходе решения прикладных задач. В современной трактовке они известны как дополнение к умножению в виде “правил знаков”. Они определены настолько хорошо, что применяя их к целым не нулевым числам, операция остается замкнутой.
В случае нуля ситуация отличается кардинально. Вводится еще одно правило “правило умножения нуля“ (умножение любого числа на ноль дает ноль). Но новым это правило только кажется. Ввести какое либо иное правило мы не можем. Определение умножения жестко связывает нас со сложением. Раскрывая умножение через сложение, мы используем “правила сложения/вычитания нуля”, соответственно ничего кроме нуля мы получить не можем.
2.4.4 Деление
Деление — операция обратная умножению. В уравнениях с положительными и отрицательными числами появляется возможность подстановки не кратных чисел.
Как следствие операция порождает “рациональные числа”.
Чтобы вписать их в арифметику, в комплекте идут “правила действий с обыкновенными дробями”. К счастью, эти правила гармонично сосуществуют с введенными нами ранее “правилами знаков”. В итоге в уравнениях сохраняется возможность определить по двум известным числам неизвестное при любой расстановке.
В случае нуля его можно умножать на рациональные числа. На этом всё, гармония закончилась! Только для двух из трех видов уравнений с произвольными числами решение может быть найдено.
Во-первых, появилась возможность составить уравнение с настолько не удобными числами, что мы не сможем подобрать ни одного решения. Решение “не возможно”.
Во-вторых, появилась возможность составить уравнение в котором есть бесконечное множество решений. Выбрать какое-то одно из них так же невозможно. Решение “не однозначно”.
Несложно догадаться, корень проблемы деления на ноль лежит в “невозможности” и “неоднозначности” умножения нуля. Умножение, в свою очередь, ретранслирует “правила сложения/вычитания нуля”. По сути можно задать уравнения, обладающие такими же свойствами, используя только сложение.
В обоих уравнениях нужно определить количество нулей, которые нужно сложить чтобы получить произвольное число или ноль.
Деление не привнесло чего-то качественно нового. Произошла трансформация “невозможности” и “неоднозначности” сложения в конкретные сущности, в неопределенности вида 1/0 и 0/0 соответственно.
Получается что деление, как первый подозреваемый, не виновато в том что на ноль делить нельзя.
Пока не существует понятия “ноль” все операции, включая возведение в степень и взятие корня (логарифмирование), хорошо замкнуты (уже правда на комплексных числах) и арифметика работает великолепно. Но есть одно “но”, при такой конфигурации арифметики операция вычитания, оказывается определена не полностью.
После введения нуля сложение и вычитание неплохо работает. Для остальных операций он скорее повод для установки костылей (), нежели равноправное число.
2.5 Что такое ноль?
Отсутствие породившей операции качественно отличает ноль от всех остальных чисел.
Для того, чтобы была ясна связь не рассмотренных нами типов чисел с операциями, продолжим, максимально кратко, тему эволюции. Мы остановились на делении. Комплексные числа и часть иррациональных порождаются операцией взятия корня (логарифмированием) над отрицательным числом. Прочие иррациональные (число Пи и число Эйлера) появляются за счет введения бесконечных сумм и бесконечных умножений. Мнимые единицы кватернионов даны по определению и не выведены арифметически. Соответственно, инородны в рамках эволюции чисел.
На последнем пункте стоит остановиться поподробнее. Попробуем представить не абсолютный ноль.
Допустим, у нас есть мамонт. Для его перевозки нужна тара. Если положить мамонта в тару, а потом вытащить, то в таре окажется “ничто” (прям как на картинке со спичкой выше). Однако тара для двух мамонтов несколько отличается от тары для одного. В случае кражи есть основание выставлять обвинение в соответствии с размером оставшейся тары. А значит, существуют ситуации когда одно “ничто” другому “ничто” рознь.
Может ли “ничто” быть разным или “ничто” есть единая и абсолютная сущность? Это вопрос на который невозможно дать ответ. Аналогичен и бессмысленен спор на тему есть ли Бог, а и есть то единый он или их много. Ответа на этом свете мы не узнаем.
Таким образом, на самом дне арифметики, там где не существует ни натуральных чисел, ни сложения (а значит и прочих операций), существует ноль.
Хорошо, ответа на вопрос сколько должно быть нулей арифметика дать не может. Мы пользуемся одним нулем. В колесах, рассмотренных в первой части, использовалась арифметика с бесконечным количеством нулей. А может ли быть конечное число нулей, но больше одного.
Может и такие арифметики успешно используются. Один из ярких примеров арифметика со “знаковым нулем”, реализованная в JavaScript.
Введение знакового нуля является еще одним вариантом расширения числовой прямой. В общей топологии существует очень близкое (но не тождественное) пространство “линия с двумя началами” (не хаусдорфово).
Однако и эта арифметика грешит неопределенностями.
Можно сделать вывод, что неопределенности в арифметике будут сохраняться до тех пор, пока количество нулей конечно.
По большому счету неважно как мы будем относиться к нулю. Нужен ли нам единый и абсолютный ноль, а может парочка или вообще бесконечное количество, арифметика всегда сможет под нас подстроиться.
2.6 Бесконечность наше всё
Напоследок, хотелось бы представить хотя бы один вариант числовой оси содержащей бесконечное количество нулей (данный пример описывает концепцию и не претендует на математическую строгость).
Для вычитания, когда уменьшаемое и вычитаемое равны, вместо ввода нуля определим операцию “сокращения”. То есть разрешаем вычеркивать эквивалентные выражения с противоположным знаком. Но если мы сократили все, то результат уже не пригоден к дальнейшему использованию.
Отсчет в числовой оси начнем с единицы (от первого числа зародившего понятие “количество”). Для генерации остальных чисел воспользуемся бесконечной последовательностью, определенной функцией следования (она же использована в аксиомах Пеано). Это будет наш эталонный генератор бесконечной последовательности.
Чтобы получить очень маленькое число при помощи функции следования нужно затратить столько же сил сколько и на генерацию очень большого. Используем функции f(x)=1/x и f(x)=x. Приводить в десятичный вид рациональную дробь задача не стоит, соответственно вычислительная сложность функций одинакова.
Так как ни “абсолютный ноль“ (отмечен символом ноль), ни »потенциальная бесконечность» (отмечена символом беззнаковой бесконечности) недостижимы, ось растет из единицы бесконечно в обоих направлениях (масштаб неравномерный).
При определении вычитания определено “правило перестановки”. Мы же, в свою очередь, делаем копию нашей прямой и отображаем ее зеркально. Числа-близнецы и недостижимые для них пределы помечаем знаком “минус”. Положительная прямая, не соединена с отрицательной. Переход из одной прямой в другую выполняется только за счет “правила перестановки”.
Для наглядности изобразим полученную числовую прямую в виде круга. Так же, как мы делали при проективном расширении. Однако, предельные значения не смыкаем (компактификацию не выполняем). Данная трансформация смысловой нагрузки не несет и выполнена только для улучшения восприятия.
Теперь мы готовы к самому главному. Выполним переход от единой потенциальной бесконечности к бесконечному множеству актуальных бесконечностей (аналогичный подход используется в нестандартном анализе).
Будем относится к бесконечно большим величинам как к полноправным числам. За эталонную актуальную бесконечность возьмем “скорость” с которой функция следования достигает любого произвольного числа. Обозначим это число . Не стоит его путать с потенциальной бесконечностью , она все так же недостижима.
Для получения различных актуальных бесконечностей будем использовать понятие предела функции при стремлении к числу . Мы не будем отбрасывать бесконечно малые (низшего порядка) и не будем поглощать константы бесконечно большими величинами, как это принято в классическом анализе. Мы будем сохранять всю информацию, составляющую число. Соответственно, у нас появляется возможность сравнения бесконечно больших чисел.
Возводя число в отрицательные степени, мы получаем бесконечно малые числа. По сути это и есть наше бесконечное множество нулей, которые можно сравнить между собой и использовать в арифметике (в отличие от бесконечно малой величины в классическом анализе).
С точки зрения общей алгебры, наша алгебраическая система, не является полем, так как отсутствует ноль (нейтральный элемент). Нестандартный анализ оперирует аналогичными актуальными бесконечностями, они называются гиперреальными числами. Ноль (нейтральный элемент) является одним из гиперреальных чисел. Соответственно алгебраическая система нестандартного анализа оперирует полем.
Наша эталонная бесконечность представляет собой одно из чисел нестандартного анализа. Однако, вместо упрощенного понятия “скорость”, в нестандартном анализе числами являются классы эквивалентности бесконечных последовательностей. Так как в нашем концепте все алгебраические операции можно выразить через функцию следования, значит любую актуальную бесконечность, образованную арифметически, можно выразить через .
По факту пределы практически перестают упрощаться, в том виде к которому мы привыкли. Сейчас мы просто производим замену переменной на . Правило Лопиталя так же не применимо. В первой части было показано как в классике, при определении производной, отбрасывается бесконечно малая величина. Однако стоит отметить, понятие предела в нестандартном анализе все же существует, но определено несколько шире.
Если возникнет практическая необходимость, можно определить операцию вычитания и для равных чисел (вместо “сокращения” определенного нами выше). Например, это может быть число низшего порядка, нежели исходные числа (аналог уравнения из колеса). Арифметика окажется замкнутой. Но нужно отдавать себе отчет, что сумма двух двоек тут же окажется равной четырем с хвостиком. Это чем-то похоже на сложение скоростей в теории относительности. Еще один пример, термодинамика и понятие абсолютного нуля температуры. Остановив молекулы, атомы продолжают движение. Остановив атомы, кварки все еще двигаются и т.д. Погружение бесконечно.
Эпилог
Мы находимся между прошлым и будущим, между микро и макро миром. Во всех областях рано или поздно мы находим предел за который мы не сможем зайти и это нормально.
В математике все не так. Нам говорят что ноль — это число. Затем ставят его в один ряд со всеми остальными числами. Затем нам говорят, длина пути от минус единицы до единицы равна двум. И в этот момент наше сознание окончательно растворяет ноль среди остальных чисел.
Мы не можем делить на ноль, потому что забыли что однажды смешали понятие “ничто” и понятие “количество”.