что делается первым в примере умножение или сложение без скобок

Порядок действий

Для правильного вычисления значений числовых выражений, в которых нужно произвести более одного действия, необходимо знать установленный порядок выполнения арифметических действий.

Порядок действий без скобок

Установленный порядок арифметических действий без скобок:

Порядок действий со скобками

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.

В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.

Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.

Дробная черта

Дробная черта в выражении может быть заменена на знак деления, в этом случае, всё что было над и под дробной чертой надо взять в скобки. Например:

Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:

нельзя заменить на

потому что такая замена нарушит порядок действий в данном выражении.

Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что надо вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.

Источник

Порядок выполнения действий в выражениях без скобок

Сложение и вычитание

Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.

Самое простое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.

Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.

Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.

Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно 7. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, яблоках– результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.

Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.

Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.

Сложение столбиком −­­­­­­ это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.

Умножение

Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.

Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».

Деление

Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.

Почему умножение первое?

Разберем математические действия на примере. Давайте собирать яблоки у бабушки на даче:

Все яблоки приностили бабушке, она укладывала их по кучкам.

Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:

Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:

50 + 50 + 50 + 5 + 5 + 7 =?;

Здесь можно применить группировку: 3 кучки по 50 яблок − это можно записать через операцию умножения: 3 ∙ 50.

Две кучки по 5 – это тоже можно записать через умножение.

И одна кучка 7 яблок.

И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только яблоки. Нельзя сложить 50 яблок и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки – умножения. Совсем простыми словами – сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 3кучки по 50 яблок каждая, то получится 150 яблок. А дальше их уже можно складывать с яблоками из других кучек.

При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.

Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.

Порядок действий в выражениях без скобок

Для правильного вычисления выражений, в которых нужно произвести более одного действия, нужно знать порядок выполнения арифметических действий. Арифметические действия в выражении без скобок условились выполнять в следующем порядке:

В качестве примера рассмотрим следующее выражение:

Сначала необходимо выполнить возведение в степень (число 4 возвести в квадрат и число 2 в куб):

Затем выполняются умножение и деление (3 умножить на 16 и 8 разделить на 2):

И в самом конце, выполняются вычитание и сложение (из 48 вычесть 4 и к результату прибавить 20):

48 – 4 + 20 = 44 + 20 = 64

Первый способ

Запомните!

При расчёте результатов действий с двузначными и/или трёхзначными числами обязательно приводите свои расчёты в столбик.

Второй способ

Запомните!

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках.

Внутри самих скобок действует правило порядка действий как в выражениях без скобок.

Если внутри скобок находятся ещё одни скобки, то сначала выполняются действия внутри вложенных (внутренних) скобок.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения: 5 + 2 − 2 − 1 Решение

Показать решение Задание 2. Найдите значение выражения: 14 + (6 + 2 × 3) − 6 Решение

Показать решение Задание 3. Найдите значение выражения: 486 : 9 − 288 : 9 Решение

Показать решение Задание 4. Найдите значение выражения: 756 : 3 : 4 × 28 Решение

Показать решение Задание 5. Найдите значение выражения: 807 : 3 − (500 − 58 × 4) Решение

Дополнительные примеры

В данном разделе мы познакомимся с порядком действий, с выражениями со скобками и без них.

1) Если тебе нужно выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то все действия выполняют по порядку слева направо.

Например,

В числовом выражении 3 арифметических действия: сложение, вычитание и вычитание.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни умножения ни деления, действия выполняют по порядку слева направо:

Полностью пример записываем так:

10 + 15 – 6 – 8 = 25 – 6 – 8 = 19 – 8 = 11

Например,

В числовом выражении 3 арифметических действия: деление, умножение и деление.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни сложения ни вычитания, действия выполняют по порядку слева направо:

Полностью пример записываем так:

15 : 5 • 4 : 6 = 3 • 4 : 6 = 12 : 6 = 2

2) Если тебе нужно выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), то сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим деление, потом умножение, затем вычитание и сложение.

Полностью пример записываем так:

10 – 15 : 3 + 6 • 8 = 10 – 5 + 6 • 8 = 10 – 5 + 48 = 5 + 48 = 53

3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, но обязательно учитывать первое и второе правила.

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим вычитание в скобках, затем деление, потом умножение и сложение.

Полностью пример записываем так:

(25 – 10) : 3 + 6 • 8 = 15 : 3 + 6 • 8 = 5 + 6 • 8 = 5 + 48 = 53

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: сложение, деление, сложение и деление.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим действия в скобках (деление, затем сложение), затем деление, потом сложение.

Полностью пример записываем так:

42 + 18 : (6 + 12 : 4) = 42 + 18 : (6 + 3) = 42 + 18 : 9 = 42 + 2 = 44

Источник

Порядок действий

В уроке выражения мы узнали, что они бывают числовые и буквенные. Мы рассмотрели несколько числовых и буквенных выражений. Это были самые простейшие выражения.

Настало время сдвинуться с мёртвой точки и рассмотреть более сложные выражения. В данном уроке мы познакомимся с порядком выполнения действий.

Выражения могут состоять из нескольких чисел. Таковыми к примеру являются следующие выражения:

10 − 1 + 2 + 3
(3 + 5) + 2 × 3
5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Для подобных выражений принято соблюдать так называемый порядок действий. Суть в том, что выражение вычисляется кусочками по определённому порядку.

Когда нам требуется решить подобные примеры, мы сразу должны мысленно прочитать следующее правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Видим, что в нём нет никакого умножения или деления. Тогда переходим к следующему правилу:

Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же выполняем эту операцию!

Затем снова читаем те, правила, которые мы прочитали выше. Читать их нужно в следующем порядке:

1. Сначала вычислить то, что находится в скобках!

2. Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же применяем эту операцию!

3. Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же применяем эту операцию!

Таким образом, значение выражения 10 − 1 + 2 + 3 равно 14

10 − 1 + 2 + 3 = 14

Иногда удобно расставить порядок действий над самим выражением. Для этого над операцией, которую необходимо выполнить, указывают её очередь. К примеру, в выражении 10 − 1 + 2 + 3 все действия выполняются последовательно слева направо, поэтому для него можно определить следующий порядок:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1) 10 − 1 = 9

2) 9 + 2 = 11

3) 11 + 3 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий. Например, решение для выражения 10 − 1 + 2 + 3 можно записать следующим образом:

Но если человек не научился быстро считать в уме, то не рекомендуется использовать такой способ.

Пример 2. Найти значение выражения (3 + 5) + 2 × 3

Применим правила порядка действий. Прочитаем правила в порядке их приоритета.

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

8 + 2 × 3

Снова читаем первое правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Видим, что в выражении 8 + 2 × 3 нет никаких скобок. Тогда читаем следующее правило:

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

8 + 6

Осталось простейшее выражение 8 + 6, которое вычисляется легко:

Таким образом, значение выражения (3 + 5) + 2 × 3 равно 14

(3 + 5) + 2 × 3 = 14

Также, этот пример можно решить, расставив порядок действий над самим выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, а сумма — третьим:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1) 3 + 5 = 8

2) 2 × 3 = 6

3) 8 + 6 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Но опять же, используя такой способ, нужно быть очень внимательным.

Пример 3. Найти значение выражения 5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, деление — третьим действием, четвёртое и пятое действие являются суммами и они будут выполнены в порядке их следования:

1) 5 − 3 = 2

2) 5 × 2 = 10

3) 2 : 2 = 1

4) 10 + 1 = 11

5) 11 + 1 = 12

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Пример 4. Найти значение выражения (3250 − 2905) : 5

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, а деление — вторым

1) 3250 − 2905 = 345

2) 345 : 5 = 69

В скобках могут выполняться два и более действия. Бывает даже так, что в скобках встречаются другие скобки. В таких случаях нужно применять те же правила, которые мы изучили ранее.

Пример 5. Найти значение выражения (6 411 × 8 − 40799) × 6

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется умножение и вычитание. Согласно порядку действий, умножение выполняется раньше вычитания.

В результате будем иметь следующий порядок:

1) 6 411 × 8 = 51 288

2) 51 288 − 40 799 = 10 489

3) 10 489 × 6 = 62 934

Пример 6. Найти значение выражения: 1 657 974 : 822 × 106 − (50 377 + 20 338)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, деление будет вторым действием, умножение — третьим, вычитание — четвёртым.

1) 50 377 + 20 338 = 70 715

2) 1 657 974 : 822 = 2 017

3) 2 017 × 106 = 213 802

4) 213 802−70 715 = 143 087

Пример 7. Найти значение выражения: 14 026 − (96 : 4 + 3680)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется деление и сложение. Согласно порядку действий деление выполняется раньше сложения.

В данном случае сначала нужно 96 разделить на 4, и полученный результат сложить с 3 680. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат нужно вычесть из 14 026. В результате будем иметь следующий порядок:

1) 96 : 4 = 24

2) 24 + 3 680 = 3 704

3) 14026 − 3 704 = 10 322

Источник

Зубодробительная задачка с очень простой математикой

Эта задача поставит в тупик половину интернета, но не вас.

Вот вам очень простой математический пример:

8 / 2(2 + 2)

Вы удивитесь, но большинство людей не смогут правильно это посчитать. Посчитайте сами и потом смотрите правильный ответ:

В интернете много споров про такие примеры, поэтому мы решили разобраться, какие ошибки совершают чаще всего и почему многие считают неправильно. Для решения нам понадобятся три математических правила:

Разберём подробнее, что это значит в нашем случае.

1. То, что в скобках, выполняется в первую очередь. То есть в нашем примере, вне зависимости от чего угодно, сначала схлопнутся скобки:

2. Между числом и скобкой можно опустить знак умножения. У нас перед скобкой двойка, то есть можно сделать такую замену:

3. Математические действия при отсутствии скобок выполняются слева направо: как при чтении, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Нет такого, что сначала всегда делается умножение, затем деление, или наоборот. Со сложением и вычитанием то же самое.

Некоторые считают, что раз множители были написаны близко друг к другу (когда там стояли скобки), то оно выполняется в первую очередь, ссылаясь при этом на разные методические пособия. На самом деле это не так, и нет такого скрытого умножения, которое имеет приоритет над другим умножением или делением. Это такое же умножение, как и остальные, и оно делается в общем порядке — как и принято во всём математическом мире.

Получается, что нам сначала надо сложить 2 + 2 в скобках, потом 8 разделить на 2, и полученный результат умножить на то, что в скобках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кстати, если на айфоне записать это выражение точно так же, как в условии, телефон тоже даст правильный ответ.

А инженерный калькулятор на Windows 10 так записывать не умеет и пропускает первую двойку-множитель. Попробуйте сами 🙂

Тут в тред врываются математики и с воплями «Шустеф!» поясняют криком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. Например, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Методики преподавания алгебры», курс лекций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спорном примере знак умножения опущен, то спорный пример алгебраический, а значит, сначала умножаем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

Та самая цитата.

А вот как на это отвечают те, кто действительно в теме и не ленится полностью посмотреть первоисточник:

«Для устранения недоразумений В. Л. Гончаров указывает, что предпочтительнее пользоваться в качестве знака деления чертой и ставить скобки [87]. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров [59] предложили изменить порядок действий в арифметике и решать, например, так: 80:20×2=80:40=2 вместо обычного: 80:20×2=4×2=8. Однако это предложение не нашло поддержки».

Если апеллировать к Фриде Максовне Шустеф, то выходит, что:

Самое интересное, что дальше в примерах Фрида Максовна пользуется как раз правильным порядком действий, объясняя решение. Даже там, где есть умножение на скобку с опущенным знаком, она выполняет действия слева направо.

Полная цитата из Шустеф, которая, оказывается, имеет в виду совсем не то.

Моделируем ход техногенной катастрофы с помощью простого уравнения.

Красивые, полезные и странные — всё как мы любим.

Без рекламы и встроенных покупок.

Немного о том, как знакомятся программисты.

Интуиция обманет вас в этой задаче. Попробуйте лучше теорию вероятностей, это легко.

Подборка для тех, кто любит подумать.

Математика против дешевых инстаграмных амбиций.

Но на деле она точно простая.

Простая математика, но непростая логика. Проверьте, получится ли у вас.

Мы собрали всех IT-знаменитостей вместе, чтобы выяснить, как они ведут себя в темноте.

Но не программистов.

Как найти решение, если вы уже знаете ответ.

Вот что бывает, когда начинаешь бесконтрольно нанимать людей, — внезапно заканчивается место в офисе.

Источник