что делает фильтр нижних частот

Термин: Фильтр низкой частоты

Фильтр низкой частоты (ФНЧ, low-pass filter) – это устройство, подавляющее частоты сигнала выше частоты среза данного фильтра. На рисунке приведена амплитудно-частотная характеристика типичного ФНЧ. Единице условно присвоена максимальная амплитуда сигнала, точка с амплитудой 0,7 (-3 дБ) соответствует частоте среза ФНЧ, относительно которой производится расчёт ФНЧ по большинству существующих методик. От нулевой частоты до частоты среза ФНЧ находится полоса частот пропускания, справа – полоса частот подавления (задержания).

Подавление высокочастотных составляющих частот сигнала приводит к подавлению деталей сигнала с большими скоростями нарастания. ФНЧ всегда сглаживает сигнал, внося собственную задержку фильтра. Постоянную составляющую сигнала ФНЧ всегда пропускает.

ФНЧ традиционно применяют для улучшения сигнал/шум сигнального тракта за счёт подавления помех с частотами выше, чем верхняя граница полосы частот информационного сигнала. ФНЧ также широко применяют для подавления высокочастотных помех в цепях питания и сигнальных цепях в целях обеспечения электромагнитной совместимости аппаратуры.

ФНЧ могут быть как аналоговые, так и цифровые.

Аналоговые ФНЧ бывают активными (требуют дополнительной энергии питания для своей работы) и пассивными (не требуют дополнительной энергии питания). Активный аналоговый ФНЧ использует микроэлектронную технологию (типично: операционные усилители), пассивный аналоговый ФНЧ может быть сделан как на пассивных электронных компонентах (RC-фильтр, RLC-фильтр), так и с использованием пьезоэффекта, кварцевых резонаторов, объёмных резонаторов и прочих физических резонансных принципов.

Цифровые ФНЧ (фильтр цифрового сигнала) – это большое семейство вычислительных алгоритмов ЦОС. Принципиально цифровой фильтр может быть рекурсивным (с обратными связями в своём алгоритме) и нерекурсивным (без обратных связей). Принципиально, что АЧХ цифрового фильтра на частотной оси периодична: в частности, выше половины частоты дискретизации начинается зеркальная АЧХ цифрового фильтра.

Основные характеристики физически реализованного ФНЧ:

На последней характеристике стоит остановиться отдельно, поскольку она довольно коварна. Любой физически реализованный фильтр всегда имеет реальный конечный диапазон сигнала, при котором он способен корректно выполнять свою функцию. При превышении этого диапазона, в зависимости от технологии фильтра, может наступить ограничение, сложное искажение сигнала и прочие нелинейные эффекты. Но на практике данные эффекты легко идентифицировать в полосе пропускания ФНЧ, но довольно тяжело диагностировать в полосе подавления, поскольку значительная часть искаженного сигнала эффективно подавляется, а остальная часть – может вызвать странные эффекты. Таким образом, о непревышении рабочего диапазона сигнала в полосе подавления нужно помнить в реальных условиях применения ФНЧ.

Использование термина

Термин употребляется при описании трактов измерения, например, при описании принципа работы систем сбора данных.

Источник

Электрический фильтр

Что такое электрический фильтр

Электрический фильтр — это устройство для выделения желательных компонентов спектра (частот) электрического сигнала и/или для подавления нежелательных. Для остальных частот, которые не входят в полосу пропускания, фильтр создает большое затухание, вплоть до полного их исчезновения.

Характеристика идеального фильтра должна вырезать строго определенную полосу частота и «давить» другие частоты до полного их затухания. Ниже пример идеального фильтра, который пропускает частоты до какого-то определенного значения частоты среза.

На практике такой фильтр реализовать нереально. При проектировании фильтров стараются как можно ближе приблизиться к идеальной характеристике. Чем ближе характеристика АЧХ к идеальному фильтру, тем лучше он будет исполнять свою функцию фильтрации сигналов.

Фильтры, которые собираются только на пассивных радиоэлементах, таких как катушка индуктивности, конденсатор, резистор, называют пассивными фильтрами. Фильтры, которые в своем составе имеют один или несколько активных радиоэлементов, типа транзистора или ОУ, называют активными фильтрами.

В нашей статье мы будем рассматривать пассивные фильтры и начнем с самых простых фильтров, состоящих из одного радиоэлемента.

Одноэлементные фильтры

Как вы поняли из названия, одноэлементные фильтры состоят из одного радиоэлемента. Это может быть либо конденсатор, либо катушка индуктивности. Сами по себе катушка и конденсатор не являются фильтрами — это ведь по сути просто радиоэлементы. А вот вместе с выходным сопротивлением генератора и с сопротивлением нагрузки их уже можно рассматривать как фильтры. Здесь все просто. Реактивное сопротивление конденсатора и катушки зависят от частоты. Подробнее про реактивное сопротивление вы можете прочитать в этой статье.

В основном одноэлементные фильтры применяются в аудиотехнике. В этом случае для фильтрации используется либо катушка, либо конденсатор, в зависимости от того, какие частоты надо выделить. Для ВЧ-динамика (пищалки), мы последовательно с динамиком соединяем конденсатор, который будет пропускать через себя ВЧ-сигнал почти без потерь, а низкие частоты будет глушить.

Для сабвуферного динамика нам нужно выделить низкие частоты (НЧ), поэтому последовательно с сабвуфером соединяем катушку индуктивности.

Номиналы одиночных радиоэлементов можно, конечно, рассчитать, но в основном подбирают на слух.

Для тех, кто не желает заморачиваться, трудолюбивые китайцы создают готовые фильтры для пищалок и сабвуфера. Вот один из примеров:

На плате мы видим 3 клеммника: входной клеммник (INPUT), выходной под басы (BASS) и клеммник под пищалку (TREBLE).

Г-образные фильтры

Г-образные фильтры состоят из двух радиоэлементов, один или два из которых имеют нелинейную АЧХ.

RC-фильтры

Думаю, начнем с самого известного нам фильтра, состоящего из резистора и конденсатора. Он имеет две модификации:

С первого взгляда можно подумать, что это два одинаковых фильтра, но это не так. В этом легко убедиться, если построить АЧХ для каждого фильтра.

В этом деле нам поможет Proteus. Итак, АЧХ для этой цепи

будет выглядеть вот так:

Как мы видим, АЧХ такого фильтра беспрепятственно пропускает низкие частоты, а с ростом частоты ослабляет высокие частоты. Поэтому, такой фильтр называют фильтром низких частот (ФНЧ).

А вот для этой цепи

АЧХ будет выглядеть таким образом

Здесь как раз все наоборот. Такой фильтр ослабляет низкие частоты и пропускает высокие частоты, поэтому такой фильтр называется фильтром высокой частоты (ФВЧ).

Наклон характеристики АЧХ

Давайте рассмотрим этот пример

Чем больше крутизна наклона прямой АЧХ, тем лучше избирательные свойства фильтра:

Фильтр, с характеристикой наклона в 24 дБ/октаву явно будет лучше, чем в 6 дБ/октаву, так как становится более приближенным к идеальному.

RL-фильтры

Почему бы не заменить конденсатор катушкой индуктивности? Получаем снова два типа фильтров:

АЧХ принимает такой вид:

Получили все тот же самый ФНЧ

АЧХ примет такой вид

Тот же самый фильтр ФВЧ

RC и RL фильтры называют фильтрами первого порядка и они обеспечивают наклон характеристики АЧХ в 6 дБ/октаву после частоты среза.

LC-фильтры

А что если заменить резистор конденсатором? Итого мы имеем в схеме два радиоэлемента, реактивное сопротивление которых зависит от частоты. Здесь получаются также два варианта:

Давайте рассмотрим АЧХ этого фильтра

Как вы могли заметить, его АЧХ в области низких частот получилась наиболее плоской и заканчивается шипом. Откуда вообще он взялся? Мало того, что цепь собрана из пассивных радиоэлементов, так она еще и усиливает сигнал по напряжению в области шипа!? Но не стоит радоваться. Усиливает по напряжению, а не по мощности. Дело в том, что мы получили последовательный колебательный контур, у которого, как вы помните, на частоте резонанса возникает резонанс напряжений. При резонансе напряжений, напряжение на катушке равняется напряжению на конденсаторе.

Все то же самое касается и ФВЧ фильтра

Как я уже сказал, LC фильтры называют уже фильтрами второго порядка и они обеспечивают наклон АЧХ в 12 дБ/октаву.

Сложные фильтры

Что будет, если соединить два фильтра первого порядка друг за другом? Как ни странно, получится фильтр второго порядка.

В приведенных схемах мы строили АЧХ фильтра без внутреннего сопротивления генератора а также без нагрузки. То есть в данном случае сопротивление на выходе фильтра равняется бесконечности. Значит, желательно делать так, чтобы каждый последующий каскад имел значительно бОльшее входное сопротивление, чем предыдущий. В настоящее время каскадирование звеньев уже кануло в лету и сейчас используют активные фильтры, которые построены на ОУ.

Разбор фильтра с Алиэкспресс

Для того, чтобы вы уловили предыдущую мысль, мы разберем простой пример от наших узкоглазых братьев. На Алиэкпрессе продаются различные фильтры для сабвуфера. Рассмотрим один из них.

Как вы заметили, на нем написаны характеристики фильтра: данный тип фильтра рассчитан на сабвуфер мощностью 300 Ватт, наклон его характеристики 12 дБ/октаву. Если соединять к выходу фильтра саб с сопротивлением катушки в 4 Ома, то частота среза составит 150 Гц. Если же сопротивление катушки саба 8 Ом, то частота среза составит 300 Гц.

Для полных чайников продавец даже привел схему в описании товара. Выглядит она вот так:

Далее мы собираем эту схему в Proteus. Так как при параллельном соединении конденсаторов номиналы суммируются, я сразу заменил 4 конденсатора одним.

Чаще всего можно увидеть прямо на динамиках значение сопротивления катушки на постоянном токе: 2 Ω, 4 Ω, 8 Ω. Реже 16 Ω. Значок Ω после цифр обозначает Омы. Также не забывайте, что катушка в динамике обладает индуктивностью.

Как ведет себя катушка индуктивности на разных частотах?

Как вы видите, на постоянном токе катушка динамика обладает активным сопротивлением, так как она намотана из медного провода. На низких частотах в дело вступает реактивное сопротивление катушки, которое вычисляется по формуле:

Х_L — сопротивление катушки, Ом

П — постоянная и равна приблизительно 3,14

Так как сабвуфер предназначен именно для низких частот, значит, последовательно с активным сопротивлением самой катушки добавляется реактивное сопротивление этой же самой катушки. Но в нашем опыте мы это учитывать не будем, так как не знаем индуктивность нашего воображаемого динамика. Поэтому, все расчеты в опыте берем с приличной погрешностью.

Как утверждает китаец, при нагрузке на фильтр динамика в 4 Ома, его полоса пропускания будет доходить до 150 Герц. Проверяем так ли это:

Нагружаем наш фильтр динамиком в 8 Ом

Частота среза составила 213 Гц.

В описании на товар утверждалось, что частота среза на 8-омный саб составит 300 Гц. Думаю, можно поверить китайцам, так как во-первых, все данные приближенные, а во-вторых, симуляция в программах далека от реальности. Но суть опыта была не в этом. Как мы видим на АЧХ, нагружая фильтр сопротивлением большего номинала, частота среза сдвигается в большую сторону. Это также надо учитывать при проектировании фильтров.

Полосовые фильтры

В прошлой статье мы с вами рассматривали один из примеров полосового фильтра

Вот так выглядит АЧХ этого фильтра.

Полосовые резонансные фильтры

Если нам надо выделить какую-то узкую полосу частот, для этого применяются LC-резонанcные фильтры. Еще их часто называют избирательными. Давайте рассмотрим одного из их представителя.

LC-контур в сочетании с резистором R образует делитель напряжения. Катушка и конденсатор в паре создают параллельный колебательный контур, который на частоте резонанса будет иметь очень высокий импеданс, в народе — обрыв цепи. В результате, на выходе цепи при резонансе будет значение входного напряжения, при условии если мы к выходу такого фильтра не цепляем никакой нагрузки.

АЧХ данного фильтра будет выглядеть примерно вот так:

В реальной же цепи пик характеристики АЧХ будет сглажен за счет потерь в катушке и конденсаторе, так как катушка и конденсатор обладают паразитными параметрами.

Если взять по оси Y значение коэффициента передачи, то график АЧХ будет выглядеть следующим образом:

Постройте прямую на уровне в 0,707 и оцените полосу пропускания такого фильтра. Как вы можете заметить, она будет очень узкой. Коэффициент добротности Q позволяет оценить характеристику контура. Чем большее добротность, тем острее характеристика.

Как же определить добротность из графика? Для этого надо найти резонансную частоту по формуле:

f_0— это резонансная частота контура, Гц

L — индуктивность катушки, Гн

С — емкость конденсатора, Ф

Подставляем L=1mH и С=1uF и получаем для нашего контура резонансную частоту в 5033 Гц.

Давайте увеличим верхушку нашей АЧХ и найдем две частоты среза.

Следовательно, полоса пропускания Δf=f₂ — f₁ = 5233-4839=394 Гц

Ну и осталось найти добротность:

Режекторные фильтры

Другой разновидностью LC схем является последовательная LC-схема.

Ее АЧХ будет выглядеть примерно вот так:

Как можно увидеть, такая схема на резонансной частоте и вблизи нее как бы вырезает небольшой диапазон частот. Здесь вступает в силу резонанс последовательного колебательного контура. Как вы помните, на резонансной частоте сопротивление контура будет равняться его активному сопротивлению. Активное сопротивление контура составляют паразитные параметры катушки и конденсатора, поэтому падение напряжения на самом контуре будет равняться падению напряжения на паразитном сопротивлении, которое очень мало. Такой фильтр называют узкополосным режекторным фильтром.

На практике звенья таких фильтров каскадируют, чтобы получить различные фильтры с требуемой полосой пропускания. Но есть один минус у фильтров, в которых имеется катушка индуктивности. Катушки дорогие, громоздкие, имеют много паразитных параметров. Они чувствительны к фону, который магнитным путем наводится от расположенных поблизости силовых трансформаторов.

Конечно, этот недостаток можно устранить, поместив катушку индуктивности в экран из мю-металла, но от этого она станет только дороже. Проектировщики всячески пытаются избежать катушек индуктивности, если это возможно. Но, благодаря прогрессу, в настоящее время катушки не используются в активных фильтрах, построенных на ОУ.

Видео на тему «Как работает электрический фильтр», рекомендую к просмотру:

Заключение

В радиоэлектронике электрический фильтр находит множество применений. Например, в области электросвязи полосовые фильтры используются в диапазоне звуковой частоты (20 Гц-20 КГц). В системах сбора данных используются фильтры низких частот (ФНЧ). В музыкальной аппаратуре фильтры подавляют шумы, выделяют определенную группу частот для соответствующих динамиков, а также могут изменять звучание. В системах источников питания фильтры часто используются для подавления частот, близких к частоте сети 50/60 Герц. В промышленности фильтры применяются для компенсации косинуса фи, а также используются как фильтры гармоник.

Источник

Симметричные НЧ-ВЧ фильтры

В задачах обработки сигналов часто возникает необходимость фильтрации сигналов, когда сигнал разбивается на узкополосные диапазоны. В бытовом плане мы с этим сталкиваемся при воспроизведении музыки через акустические системы, в которых каждый громкоговоритель (динамик) воспроизводит свою полосу частот, которых обычно три — низкие (НЧ), средние (СЧ) и высокие (ВЧ); для воспроизведения сверхнизких частот иногда выделяют отдельную акустическую систему под названием «сабвуфер». Конкретные границы частот зависят от реализации и ориентировочно находятся на границах 100 Гц, 1 кГц и 5 кГц. Для того, чтобы не было резких скачков громкости между динамиками, используют частичное перекрытие — когда амплитуда воспроизводимой полосы частот плавно спадает на одном, одновременно нарастая на другом.

Наиболее популярными фильтрами для такого разбиения являются фильтры Линквитца-Рейли 4-го порядка, представляющих из себя два последовательно соединённых фильтра Баттерворта, изображение АЧХ которых многим хорошо знакомо:

Популярность их обусловлена простотой схемотехнической реализации и гладкой АЧХ с отсутствием пульсаций. Порядок фильтра, обуславливающий скорость затухания, обычно выбирают 4-ым.

У всех аналоговых фильтров есть недостатки — нестабильность параметров и сложность в настройке. Другой немаловажным недостатком является неустранимый сдвиг фаз. Реализовать фазолинейный фильтр в аналоге невозможно, потому что это нарушает причинно-следственную связь выходного сигнала от входного.

Появление цифровой техники в целом и цифровых источников сигналов в частности позволило избавиться от недостатков аналоговых фильтров путём реализации их непосредственно программным образом, в цифре. Такой подход требует «мультиампинг» — когда используется отдельный усилитель мощности для каждой полосы частот — в отличие от классического подхода, когда сначала усиливается широкополосный сигнал, который разбивается на частотные полосы (обычно) пассивными фильтрами. Применение нескольких усилителей вместо одного очевидным образом удорожает технику, поэтому такое решение выбирают для особо качественных систем.

▍ Краткое введение в цифровые фильтры

Цифровой фильтр — это функция, которую можно рассматривать как во временной, так и в частотной области. Во временной области она определяет импульсную характеристику, получаемой при реакции некоторого устройства или его мат. модели на единичный импульс (на слух воспринимаемый как щелчок). В частотной области она определяет затухание или усиление амплитуды и сдвиг фазы на отдельно взятой частоте. Переход между этими областями (в англоязычной литературе используется слово domain) осуществляется через преобразование Фурье, которое между функциями во временной и в частотной области задаёт однозначное соответствие.

Разделяют два типа цифровых фильтров:

IIR (Infinite Impulse Response) — фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. По сути, представляют собой всё те же аналоговые фильтры, но «моделируемые» в цифре — математический аппарат в обоих случаях идентичен (в основе которого лежит преобразование Лапласа). Отсюда следует бесконечность импульсной характеристики, которую можно представить в виде суммы экспоненциально затухающих синусоид.

Вот так выглядит (обрезанная справа) импульсная характеристика рекурсивного фильтра низких частот с высокой добротностью

Их преимуществом является низкая вычислительная сложность — каждое новое значение вычисляется рекурсивно в зависимости от предыдущих. Они также чувствительны к погрешностям вычисления и ошибкам округления — поэтому вопрос устойчивости (гарантированного затухания при отсутствии сигнала на входе) таких фильтров в теории рассматривается отдельно.

Наиболее простым является фильтр низких частот первого порядка:

FIR (Finite Impulse Response) — фильтры с конечной импульсной характеристикой. Самый известный фильтр такого рода — это скользящее среднее, а сама фильтрация осуществляется посредством линейной свёртки отсчётов фильтра с отсчётами входного сигнала. Здесь сложность уже квадратичная — однако её можно уменьшить до , если использовать алгоритм быстрой свёртки с использованием быстрого преобразования Фурье (FFT). Конечность количества отсчётов накладывает свои ограничения на форму АЧХ, приводя к пульсациям.

А так выглядит импульсная характеристика фазолинейного FIR-фильтра низких частот

Довольно популярной практикой при проектировании фильтров является линеаризация — когда берётся АЧХ известного IIR фильтра и формируется из неё FIR с линейной фазой.

▍ Постановка задачи

Итак, нашей задачей является сформировать пару фильтров, делящих полосу частот на две с перекрытием. При этом они должны обладать следующими характеристиками:

Cимметричность (зеркальность) АЧХ решает две задачи:
1) ВЧ-составляющую сигнала можно получить вычитанием из исходного НЧ-составляющей — как в частотной, так и во временной области;
2) избавляет от мучительного выбора, для какого фильтра — НЧ или ВЧ — предпочтительнее более пологий или крутой спад АЧХ.

Похожее требование есть у квадратурных зеркальных фильтров, в которых задаётся симметрия в линейном масштабе частот. Но нас интересует именно логарифмический масштаб, как более естественный для человеческого слуха.

▍ Общий алгоритм построения

Существует несколько подходов к проектированию КИХ-фильтров, из которых наиболее простым и интуитивно-понятным является следующий:

▍ Аналитическое решение

Озвученным выше требованиям гладкости и симметрии (но не фазолинейности) соответствует фильтр Линквитца-Рейли. Зная формулу АЧХ , где — порядок фильтра, формулу импульсной характеристики можно получить аналитически через интеграл Фурье, а конкретные отсчёты FIR фильтра считать непосредственным её вычислением.

График фильтра в логарифмическом масштабе:

Лучший способ для вычисления интеграла Фурье — это использовать какую-нибудь систему компьютерной алгебры. Например, в Wolfram Mathematica это будет выглядеть так:

InverseFourierTransform[1/(1 + w^2), w, x] // FullSimplify
↓

График получившейся функции, она же импульсная характеристика:

Как видно из формулы и графика, импульсная характеристика бесконечна — стремится к нулю, но не достигает его; а также симметрична относительно нуля (за счёт фазолинейности). Ограничение её во времени осуществляется путём умножения на оконную функцию, за счёт чего значения функции за пределами окна приобретают нулевые значения, не требующих участия в расчётах. Побочным эффектом этого становится искажения исходного спектра фильтра — поскольку при умножении функций их спектры сворачиваются. Итоговый спектр можно увидеть также через преобразование Фурье. Например, для прямоугольного окна получим

в результате чего АЧХ фильтра изменится на

Помножив её на импульсную характеристику фильтра, получим:

Как видно, величина пульсаций значительно уменьшилась. По графику видно, что «полка» фильтра слегка опустилась — в идеале это тоже нужно учитывать и компенсировать. В данном случае она составила (на нулевой частоте):

FourierTransform[E^-Abs[x] Sqrt[Pi/2] NuttallWindow[x/20], x, w] /.w->0.0
↓

Мнимая часть здесь получилась вследствие погрешности при численных вычислениях и её можно смело отбрасывать (об этом говорит значение , поскольку точность вычислений в формате double и представляет примерно 16 десятичных цифр).

Аналогичным образом можно посчитать импульсные характеристики и для более высоких (но только целых) порядков, например:

InverseFourierTransform[1/(1+w^4), w, x] // FullSimplify
↓

Как видно, автоматического упрощения уже недостаточно и здесь требуется ручная работа по приведению формулы к удобочитаемому виду. В итоге получается следующая формула (в комплексных числах) для импульсной характеристики фильтра Линквитца-Рейли произвольного порядка:

При вычислении за счёт сложения комплексно-сопряжённых чисел мнимая часть обнуляется и в результате получится чисто действительная функция. Эту формулу можно выписать и непосредственно в действительных числах:

▍ Переход в дискретную область

Синтез фильтра в дискретном виде осуществляется сходным образом. Принципиальное отличие состоит в том, что:

Также имеются различия (но не результат) при работе с классическим (комплексным) FFT, Real-FFT, который работает только с половиной спектра, предполагая его симметрию, и FHT (быстрое преобразование Хартли), в котором изначально и данные, и спектр определены в поле действительных чисел. Здесь будет использоваться классический FFT.

Итак, определим формулу для фильтра — для примера 4-го порядка:

Выберем частоту дискретизации (в герцах), стандартную для современных ЦАП:

Выберем частоту среза, на которой подавления будет составлять 0.5 (-6 дБ) и соответствовать нормированной частоте w=1:

Выберем размер массива (маленький, для наглядности):

Далее необходимо заполнить массив. Каждому элементу в нём будет соответствовать частота от 0 (постоянная составляющая) до (частота Найквиста), равномерно распределённых в линейном масштабе. Определим функцию, которая в зависимости от индекса будет считать нормированную частоту:

Заполняем первую половину (положительную часть спектра) массива:

Здесь фазу на каждой нечётной частоте мы повернули на 180° для того чтобы после БПФ максимум импульса был расположен по центру массива.

Вторую половину (отрицательную часть спектра) получаем реверсом первой, за исключением крайних частот (нулевой — постоянной составляющей и максимальной — частоты Найквиста, потому что для их описания достаточно одного числа).

spectrumdata =
Join[halfspectrumdata, Reverse[halfspectrumdata[[2;;size/2]]]];

Теперь делаем обратное преобразование Фурье:

И накладываем оконную функцию — Нутталла, как и в прошлый раз:

В качестве заключительного аккорда можно нормировать полку фильтра к единице. Для этого снова потребуется прямое FFT, чтобы узнать значение постоянной составляющей:

Fourier[wavedata][[1]]
↓

и затем просто поделить на него значение каждого отсчёта в импульсе

Сделав FFT ещё раз, можно убедиться, что постоянная составляющая стала равной единице:

Fourier[wavedata][[1]]
↓

Если бы мы проектировали фильтр высоких частот, но нормализацию нужно было бы делать по амплитуде не на нулевой частоте, а на частоте Найквиста.

▍ Кусочно-непрерывные фильтры

Из её графика в линейном масштабе симметрия, обеспечивающая суммирование в единицу, хорошо видна:

А вот в логарифмическом масштабе — уже нет, зато хорошо видно главное отличие от фильтра Линквитца-Рейли — спад не пологий, а имеет выраженную границу справа, за которой громкость (в децибелах) равна минус бесконечности. Дополнение до единицы даёт ВЧ-фильтр (жёлтым цветом), который и обладает желаемой симметрией:

На большем диапазоне громкости это свойство фильтров выглядит ещё более наглядным:

1) через граничные частоты

2) через центральную частоту и ширину (в октавах)

3) через центральную и верхнюю граничную частоту

4) через центральную и нижнюю граничную частоту

Теперь, используя некоторую функцию фильтра, можно получить его импульсную характеристику по вышеописанному алгоритму, который можно определить отдельной функцией:

Передав в эту функцию наш кубический фильтр и окно Нуттала получим

SymmetricFilterImpulseResponse[1000, 0.5, 512, 48000, FilterCubicClip, NuttallWindow]
↓

▍ Несколько интересных фильтр-функций

Помимо уже рассмотренной кубической, можно придумать множество и других функций для фильтров, основанных на какой-нибудь математической идее. Также имеет значение, насколько легко может быть вычислена (и может ли быть вычислена вообще) обратная функция.

Параболическая, наименее вычислительно затратная. При необходимости, обратная к ней функция находится довольно элементарно:

\frac<1> <2>\end \right.$» data-tex=»display»/>

Кубическая. Обратная к ней функция уже немного контринтуитивна (а если вам интересно, откуда здесь взялись тригонометрические функции — тогда сюда):

Используя полином 5-ой степени, с двумя нулевыми производными на границах сопряжения. Обратная функция здесь уже в элементарных функциях не выражается (потому и не приведена):

Используя полином 13-ой степени — с дополнительным «выпрямлением»:

Используя рациональный полином — даёт более гладкую характеристику и более простую обратную функцию, чем у кубической:

С заданным количеством нулевых производных в точках стыковки, частным случаем которой является предыдущая функция. Обратная к ней функция также легко находится:

Линейно спадающая в логарифмическом масштабе:

\frac<1> <2>\end \right.$» data-tex=»display»/>

Более плавный вариант предыдущего с возможностью регулировки «жёсткости». Здесь уже обратная функция для произвольного n в элементарных функциях не выражается:

С бесконечным количеством нулевых производных в точках стыковки, что обеспечивает идеальное сопряжение. А здесь обратная функция легко находится:

С максимально быстро затухающей импульсной характеристикой — что при достаточно больших (5$» data-tex=»inline»/>) позволяет обойтись без оконной функции вообще. Сама формула получена модуляцией аргумента кубической функции, т.е. :

▍ Заключение

Несмотря на очевидность постановки задачи, мне не встречалось ничего подобного ни в специализированных решениях, ни в мат. пакетах общего назначения. Возможно, что это связано с инерцией мышления в стиле «всё, что можно придумать, уже придумано». Однако это не так хотя бы потому, что сейчас доступны технологии и вычислительные мощности, о которых всего лишь 50 лет назад инженеры и математики не могли и мечтать.

В качестве proof of concept фильтры по такой методике были реализованы в плагине для популярного в аудиофильских кругах плеера foobar, извлекающего канал сабвуфера из стереосигнала (официальный репозиторий); и ещё в одном, просто для демонстрации звучания (неофициальный репозиторий). Для реализации таких фильтров в «мультиампинг»-системах можно использовать готовые решения, позволяющие загружать заранее посчитанные импульсные файлы. При отсутствии мат.пакетов их можно посчитать даже в excel-е (используя преобразование Фурье из пакета анализа).

Насколько такие фильтры «звучат» лучше классических решений — вопрос уже аудиофильский, но, как минимум, разницу в звучании обеспечивают вполне объективную и обеспечивают возможность для более точной настройки.

Источник