чем можно уравновесить пару сил

Пара сил и моменты сил

Пара сил и моменты сил

ПАРА СИЛ И МОМЕНТЫ СИЛ

Пара сил и ее действие на тело

Две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны и не лежащие на одной прямой, называются парой сил. Примером такой системы сил могут служить усилия, передаваемые руками шофера на рулевое колесо автомобиля. Пара сил имеет большое значение в практике. Именно поэтому свойства пары как специфической меры механического взаимодействия тел изучаются отдельно.

Сумма проекций сил пары на ось х и на ось у равна нулю (рис. 19, а), поэтому пара сил не имеет равнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил не находится в равновесии.

Действие пары сил на твердое тело состоит в том, что она стремится вращать это тело. Спо­собность пары сил производить вращение определяется моментом пары, равным произведе­нию силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпендикуляру к силам) между линиями действия сил. Обозначим момент пары М, а кратчайшее расстояние между силами а, тогда абсолютное значение момента (рис. 19, а):

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется плечом пары, поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютному значению равен произведению одной из сил на ее плечо.

Эффект действия пары сил полностью определяется ее моментом. Поэтому момент пары сил можно показывать дугообразной стрелкой, указывающей направление вращения. Так как

пара сил не имеет равнодействующей, ее нельзя уравновесить одной силой. Момент пары в СИ измеряется в ньютонометрах (Нм) или в единицах, кратных ньютонометру: кНм, МНм и т. д.

Момент пары сил будем считать положительным, если пара стремится повернуть тело по направлению хода часовой стрелки (рис. 19, а), и отрицательным, если пара стремится вращать тело против хода часовой стрелки (рис. 19, б). Принятое правило знаков для моментов пар условно: можно было бы принять противоположное правило.

1. Определить, на каком рисунке изображена пара сил:

А. Рис. 20, а. Б. Рис. 20, б. В. Рис. 20, в. Г. Рис. 20, г.

2. Что определяет эффект действия пары сил?

А. Произведение силы на плечо. Б. Момент пары и направление поворота.

3. Чем можно уравновесить пару сил?

А. Одной силой. Б. Парой сил.

Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состоя­ние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно пере­но­сить в плоскости ее действия в любое положение.

Рассмотрим еще одно свойство пары сил, которое является осно­вой для сложения пар.

Не нарушая состояния тела, можно как угодно изменять мо­дули сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неиз­менным.

Заменим пару сил с плечом а (рис. 21, а) новой парой с плечом b (рис. 21, б) так, чтобы момент пары оставался тем же.

Момент заданной пары сил . Момент новой пары сил М2 = F2b. По определению пары сил эквивалентны, т. е. произ­водят одинаковое действие, если их моменты равны.

1. Зависит ли эффект действия пары сил на тело от ее положения в пло­скости?

2. Какие из приведенных ниже пар эквивалентны?

А. а) сила пары 100 кН, плечо 0,5 м; б) сила пары 20 кН, плечо 2,5 м; в) сила пары 1000 кН, плечо 0,05 м. Направление всех трех пар одинаково.

Б. а) Мг = —300 Нм; б) М2 = 300 Нм.

3. Момент пары сил равен 100 Нм, плечо пары 0,2 м. Определить значение сил пары. Как изменится значение сил пары, если плечо увеличить в два раза при сохранении численного значения момента.

Сложение и равновесие пар сил на плоскости

Подобно силам, пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар, называется результирующей.

Как показано выше, действие пары сил полностью определяется ее моментом и направлением вращения. Исходя из этого сложение производится алгебраическим суммированием их моментов, т. е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов состав­ляющих пар.

Это применимо к любому количеству пар, лежащих в одной плоскости. Поэтому при произвольном числе слагаемых пар, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, момент результирующей пары определится по формуле

где моменты пар, вращающие по часовой стрелке принимаются положительными, а против часовой стрелки — отрицательными.

На основании приведенного правила сложения пар устанавливается условие равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости, а именно: для равновесия системы пар необхо­димо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:

Определить момент результирующей пары, эквивалентной системе трех пар, лежащих в одной плоскости. Первая пара образована силами F1 = F’1 = 2 кН, имеет плечо h 1 = 1,25 м и действует по часовой стрелке; вторая пара образована силами F2 = F’2 = 3 кН, имеет плечо h2 =. 2 м и действует про­тив часовой стрелки; третья пара образована силами F 3 = F’3 = 4,5 кН, имеет плечо h3 = 1,2 м и действует по часовой стрелке (рис. 22).

Вычисляем моменты составляющих пар:

Для определения момента результирующей пары складываем алгебраически моменты заданных пар

Момент сил относительно точки и оси

Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рис. 23, а).

При закреплении тела в точке О сила стремится поворачи­вать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпенди­куляра а называется плечом силы относительно центра момента.

Момент силы относительно О определяется произведением силы на плечо

Измеряют моменты сил в ньютонометрах (Нм) или в соответ­ствующих кратных и дольных единицах, как и моменты пар.

Момент принято считать по­ложительным, если сила стре­мится вращать тело по часовой стрелке (рис. 23, а), а отри­цательным — против часовой стрелки (рис. 23, б). Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точки равен нулю, так как в рассматриваемом случае плечо а = 0 (рис. 23, в).

Между моментом пары и моментом силы есть одно существен­ное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависят от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно которой определяется момент.

Рассмотрим, как определяется момент силы относительно оси.

Составляющая параллельна оси Oz и момента относительно этой оси не создает. Состав­ляющая действует в плоскости H и создает момент относительно оси Oz или, что то же са­мое, относительно точки О. Момент силы измеряется произведением модуля самой силы на длину а перпендикуляра, опущенного из точки О на направление этой силы, т. е.:

Знак момента по общему правилу опреде­ляется направлением вра­щения тела: плюс (+) – при движении по часовой стрелке, минус (—) – при движении против часовой стрелки. Для опре­деления знака момента наблюдатель должен непременно на­ходиться со стороны положи­тельного направления оси. На рис. 25 момент силы относительно оси Oz положителен, так как для наблюдателя, смотрящего со стороны положительного направле­ния оси (сверху), тело под действием заданной силы представляется вращающимся вокруг оси по ходу часовой стрелки.

Следовательно, для определения момента силы относительно оси нужно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, и найти момент проекции силы относительно точки пере­сечения оси с этой плоскостью.

1. Будет ли тело находиться в равновесии, если на него действуют три пары сил, прило­женных в одной плоскости, и моменты этих пар имеют следу­ющие значения: М1 = —600 Нм; М2 = 320 Нм и М3 = 280 Нм.

А. Тело будет находиться в равновесии Б. Тело не будет находиться в рав­новесии.

2. Определить плечо силы F относительно точки О (рис. 26).

3. Чему равен момент силы относительно точки К (рис. 26)?

4. Зависят ли значение и направление момента силы относительно точки от взаимного распо­ложения этой точки и линии действия силы?

А. Не зависят. Б. Зависят.

5.Когда момент силы относи­тельно оси равен нулю?

A. Когда сила параллельна оси.

Б. Когда линия действия силы пере­секает ось.

В. Когда сила и ось рас­положены в одной плоскости.

6.Определите момент силы относительно оси z (рис. 27):

А. Б.

7. Вычислите момент силы относительно оси z (рис. 27), если задано D2 = 1 м; F’ = 50 Н.

Источник

Лекция 3. Момент силы. Пара сил

3.1. Алгебраический момент силы на плоскости

Приложив силу к покоящемуся телу, можно сообщить ему поступательное движение. В таком режиме движения любая прямая, проведенная в теле, все время остается параллельной самой себе, а все точки тела движутся по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями. Тем самым, при таком движении осуществляется параллельный перенос тела на плоскости или в пространстве.

Пример. Поступательным является движение детали, помещенной на прямой участок ленты конвейера, или человека, стоящего на эскалаторе. Движение автомобиля на прямолинейном участке дороги также можно считать поступательным, если пренебречь вращением колес и вибрациями корпуса.

Однако в ряде случаев после приложения силы тело начинает вращаться – его точки двигаются по окружностям вокруг одной и той же точки или оси. Вращательный эффект силы харатеризуется ее моментом относительно точки или оси. Сначала изучим поворот тела под действием силы на плоскости, а затем обобщим полученные результаты на случай пространства.

Пусть к плоскому твердому телу приложена некоторая сила \(\vec F\). Ее алгебраическим моментом относительно заданной точки (полюса) O называется число, равное

Расстояние d от полюса до линии действия силы называется плечом силы относительно полюса O (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Сила \(\vec F\) поворачивает тело вокруг полюса O. Положения тела до и после поворота отмечены сплошной линией и штрихом, соответственно

Знак «+» или «–» ставится в зависимости от того, в какую сторону сила пытается повернуть тело вокруг указанного полюса. Знаку «+» соответствует поворот против часовой стрелки, знак «–» выбирается при повороте по часовой стрелке. Так, при вычислении момента силы \(\vec F\) на рис. 3.1 следует выбрать знак «+».

Если плечо силы равно нулю, то ее момент относительно данного полюса также нулевой. Это понятно: сила, линия действия которой проходит через указанную точку, не может повернуть тело вокруг этой точки.

Поскольку в системе СИ сила измеряется в ньютонах, а расстояние – в метрах, то момент силы измеряется в ньютон-метрах (Н·м).

Изучая вращение тела вокруг точки на плоскости, можно считать, что мы имеем дело с вращением объемного тела вокруг некоторой оси и рассматриваем проекцию этого тела на плоскость, перпендикулярную оси.

Пример. Открываясь и закрываясь под действием приложенной силы \(\vec F\), дверь вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через петли, соединяющие ее с косяком (рис. 3.2 а). Если сила перпендикулярна этой прямой, можно рассмотреть проекцию двери, ее оси вращения и силы на горизонтальную плоскость (рис 3.2 б). В этом случае вертикальная ось переходит в точку (полюс). Чтобы описать вращение двери, достаточно вычислить момент \(\vec F\) относительно этого полюса.

Рис. 3.2. Вычисление момента силы, приложенной к двери

Искомый момент зависит как от точки приложения силы (точнее – от расстояния l между нею и петлями), так и от угла α, образуемого линией действия силы с дверным полотном. Поскольку плечо силы d = l sin α, то ее момент (без учета направления вращения) составляет M = Fl sin α. Чем больше M, тем легче откроется дверь. Поэтому дверные ручки располагают как можно дальше от петель, увеличивая l (и M, соответственно). Если приложить силу непосредственно к петлям, то l = 0 и M = 0, поэтому дверь не повернется. При α = 0 линия действия силы также проходит через петли, M = 0 и дверь снова не сможет повернуться.

3.2. Момент силы в пространстве

Моментом силы \(\vec F\) относительно точки O в пространстве будем называть вектор \(\vec m_(\vec F)\), удовлетворяющий требованиям:

Рис. 3.3. Определение момента силы относительно точки в пространстве

Как видно, данное определение обобщает понятие алгебраического момента силы, введенное в предыдущем пункте. Оно содержит указание и на числовую величину момента, аналогичную плоскому случаю, и на плоскость, в которой происходит вращение, и на направление поворота. Напомним, что в формуле (3.1) это направление указывается знаком «+» или «–». Из определения следует также, что вектор \(\vec m_\) направлен вдоль оси вращения. Так, в п. 3.1 изучается вращение в горизонтальной плоскости или, что то же самое, вокруг вертикальной оси.

Пусть \(\vec r\) – радиус-вектор, соединяющий полюс и точку приложения силы. Докажем, что тогда момент силы \(\vec F\) относительно полюса можно вычислить по формуле:

Доказательство. Проверим, что вектор \(\vec m_\) удовлетворяет всем условиям данного выше определения.

Угол между \(\vec r\) и \(\vec F\), если откладывать их от одной точки, равен 180°–α (см. рис. 3.3), поэтому модуль их векторного произведения m_O = rF sin(180°–α) = rF sin α. Однако d = r sin α – это расстояние от линии действия силы \(\vec F\) до полюса O, т.е. плечо силы. Тем самым, числовое значение вектора \(\vec m_\) в (3.2) по-прежнему равно Fd – произведению силы на плечо.

Далее, по свойствам векторного произведения, \(\vec r\times\vec F\) перпендикулярен обоим векторам \(\vec r\) и \(\vec F\). Тем самым, он перпендикулярен плоскости, содержащей \(\vec F\) и O.

Наконец, тройка векторов \(\vec r\), \(\vec F\) и \(\vec m_=\vec r\times\vec F\) является правой. Это значит, что глядя с конца \(\vec m_\), мы увидим, что кратчайший поворот от \(\vec r\) к \(\vec F\) происходит против часовой стрелки (если совместить начала \(\vec r\) и \(\vec F\) в одной точке). Но тогда и видимое нами возможное вращение тела вокруг точки O в заданной плоскости тоже будет происходить против часовой стрелки. Доказательство завершено.

Как известно, векторное произведение равно нулю, если его сомножители коллинеарны (в частности, один из них или оба сразу могут быть нулевыми). Но если \(\vec r\) и \(\vec F\) в формуле (3.2) коллинеарны, то линия действия \(\vec F\) проходит через точку O. Как и на плоскости, сила, чья линия действия проходит через полюс, не может повернуть тело вокруг него.

Пусть в пространстве введена система координат Oxyz с центром в полюсе O, и в этой системе векторы \(\vec r\) и \(\vec F\) имеют следующие координаты: \(\vec r=\,\) \(\vec F=\;F_;F_\>\). Тогда из (3.2) легко получить, что проекции момента на координатные оси Ox, Oy, Oz равны, соответственно,

Выражения (3.3) можно не запоминать: достаточно помнить равенство (3.2) и уметь вычислять векторное произведение в координатах.

Пример. Сила \(\vec F=\<3;8;5\>\) приложена к точке A(2; 0; –1). Найти числовую величину момента силы относительно точки B(4; –3; 3).

Сначала найдем вектор момента силы, а потом его модуль. Воспользуемся формулой (3.2), в которую вместо \(\vec r\) подставим вектор \(\overrightarrow=\<-2;3;-4\>\). Пусть \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\) – единичные векторы, направленные вдоль координатных осей. Тогда

Длина этого вектора равна \(\sqrt<47^<2>+(-2)^<2>+25^<2>>=\sqrt<2838>\approx 53.27\). Итак, числовая величина момента силы составляет приближенно 53.27 Н·м (если сила в задаче измеряется в ньютонах, а расстояние – в метрах).

Выше было сказано, что приложенная сила пытается повернуть тело вокруг оси, которая перпендикулярна плоскости, содержащей полюс и сам вектор силы. Однако в принципе можно изучить вращение тела вокруг произвольной оси l, проходящей через выбранный полюс O. Для этого вводят числовую величину, называемую моментом силы относительно оси, проходящей через полюс. По определению, она равна проекции момента силы относительно этого полюса на указанную ось. Тем самым, формулы (3.3) выражают моменты силы \(\vec F\) относительно координатных осей через ее компоненты и координаты ее точки приложения.

Выясним, каков смысл введенного понятия. Пусть через точку O проведена ось l, сила \(\vec F\) приложена к точке A и вектор \(\overrightarrow=\vec r\) (рис. 3.4 а). Вычислим момент \(\vec F\) относительно O и спроецируем его на l.

Рис. 3.4. Определение момента силы относительно оси

Разложим векторы \(\vec r\) и \(\vec F\) на составляющие, параллельные и перпендикулярные проведенной оси: \(\vec r=\vec r_<||>+\vec r_<\perp>\), \(\vec F=\vec F_<||>+\vec F_<\perp>\) (рис. 3.4 б). Подставим эти выражения в (3.2) и раскроем скобки:

Векторы \(\vec r_<||>\) и \(\vec F_<||>\) параллельны l, а значит, коллинеарны друг другу. Поэтому их векторное произведение равно нулю. Далее используем тот факт, что векторное произведение перпендикулярно каждому из своих сомножителей. Значит, второе слагаемое перпендикулярно \(\vec r_<||>\), а третье – \(\vec F_<||>\). Поскольку указанные векторы параллельны l, то оба слагаемых образуют с этой осью угол 90°, а значит, их проекции на нее равны нулю. Остается разобраться лишь со слагаемым \(\vec r_<\perp>\times\vec F_<\perp>\).

И \(\vec r_<\perp>\), и \(F_<\perp>\) лежат в плоскости, перпендикулярной l, поэтому \(\vec r_<\perp>\times\vec F_<\perp>\) параллелен данной оси. Следовательно, длина этого вектора (с учетом знака) и будет искомым моментом силы. Перейдем в плоскость, где лежат \(\vec r_<\perp>\) и \(\vec F_<\perp>\); без ограничения общности можно считать, что она проходит через точку O (рис. 3.4 в). Модуль \(\vec r_<\perp>\times\vec F_<\perp>\) равен r_⊥F_⊥sin α. Однако (ср. с рассуждениями после формулы (3.2)) d = r_⊥sin α – это плечо силы \(\vec F_<\perp>\) относительно точки O, т.е. по модулю искомый момент равен F_⊥d.

Выясним знак проекции \(\vec r\times\vec F\) на l. Предположим, что рис. 3.4 в) изображает положение векторов и точек, видимое с положительного направления оси. Мысленно отложим \(\vec r_<\perp>\) и \(\vec F_<\perp>\) от одной точки, например, от полюса O. Если теперь кратчайший поворот от первого вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки, то векторное произведение \(\vec r_<\perp>\times\vec F_<\perp>\) направлено в сторону наблюдателя, а значит, проекция \(\vec r\times\vec F\) на ось положительна. С другой стороны, нетрудно видеть, что в этом случае \(\vec F_<\perp>\) пытается повернуть тело против часовой стрелки вокруг точки O и оси l. Аналогично, если кратчайший поворот от \(\vec r_<\perp>\) к \(F_<\perp>\) происходит по часовой стрелке, то проекция \(\vec r\times\vec F\) на l отрицательна, а \(\vec F_<\perp>\) поворачивает тело вокруг O по часовой стрелке. Этот результат можно сравнить с формулой (3.1).

Обобщим вышесказанное. Модуль искомого момента равен произведению силы \(\vec F_<\perp>\) на ее плечо, а знак определяется направлением возможного вращения вокруг l. Тем самым,

Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси и плоскости.

Из наших рассуждений вытекает, что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

Конечно, здесь и выше предполагается, что приложенная к телу сила \(\vec F\) сама не равна нулю.

Пример. На ось ординат надет тонкий абсолютно твердый диск радиуса R; его центр находится на расстоянии a от начала координат. К верхней точке диска параллельно горизонтальной плоскости Oxy приложена сила \(\vec F=\;F_;0\>\) (рис. 3.5). Величины F_x, F_y положительны. Требуется найти моменты этой силы относительно координатных осей.

Вычислим момент силы \(\vec F\) относительно начала координат O, а затем найдем проекции найденного вектора на оси Ox, Oy, Oz. Радиус-вектор точки приложения силы равен \(\vec r=\<0;a;R\>\), поэтому

Следовательно, искомые моменты равны \(m_(\vec F)=-RF_\), \(m_(\vec F)=RF_\), \(m_(\vec F)=-aF_\).

Конечно, можно было бы сразу применить равенства (3.3). Но, как уже было сказано, лучше не запоминать дополнительно три формулы, а пользоваться одной – (3.2).

Полученный результат можно проверить и другим способом: вычисляя не векторное произведение, а моменты силы относительно осей. Для этого спроецируем чертеж на координатные плоскости и рассмотрим эти проекции, глядя со стороны положительных направлений осей координат (рис. 3.6).

При взгляде с конца оси Ox мы увидим лишь силу F_y, как на рис. 3.6 а). Ее плечо, очевидно, равно R, причем она пытается повернуть тело по часовой стрелке. Значит, момент \(\vec F_\) относительно точки O равен –RF_y. При взгляде с положительного конца Oy видна картина, изображенная на рис. 3.6 б). Сила \(\vec F_\), имеющая плечо R, пытается вращать диск против часовой стрелки вокруг оси ординат, поэтому \(m_(\vec F)=RF_\). Наконец, и \(\vec F_\), и \(\vec F_\) имеют ненулевую проекцию на плоскость Oxy, перпендикулярную оси Oz (см. рис. 3.6 в). Однако линия действия \(\vec F_\) проходит через выбранную ось, поэтому вращательный эффект будет оказывать лишь сила \(\vec F_\). Ее плечо равно a, а момент составляет –aF_x, ибо вращение будет происходить по часовой стрелке. Итак, нами получены те же ответы, что и ранее.

3.3. Пара сил

Пара сил (или просто пара) – это система двух сил, равных по модулю и противоположных по направлению. Расстояние d между линиями действия этих сил называется плечом пары (рис. 3.7), а плоскость, в которой лежат обе силы, – плоскостью действия пары (или просто плоскостью пары).

Рис. 3.7. Пара сил и плечо пары

Пара сил не имеет равнодействующей (этот факт будет доказан позднее). Исключением является случай, в котором плечо пары равно нулю: тогда линии действия сил совпадают и система оказывается уравновешенной. Далее мы будем считать, что плечо пары не равно нулю.

Приложенная к телу пара пытается повернуть его в плоскости, в которой лежат обе силы, составляющие эту пару. Указанное свойство используют для управления движением тел.

Пример 1. При отворачивании болтов, которыми автомобильное колесо крепится к ступице, применяют баллонный ключ, в ряде случаев имеющий форму креста. Чтобы повернуть ключ, силы прикладывают к двум противоположным лучам креста, надетого на головку болта (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Баллонный ключ: а) общий вид; б) применение

Пример 2. Если самолету, оснащенному двумя двигателями, требуется развернуться на рулежной дорожке аэродрома, один из них включают в режиме прямого хода, а другой – в режиме реверса (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Разворот самолета на рулежной дорожке

Будучи неконтролируемым, эффект вращения тела под действием пары может привести к отрицательным и даже трагическим последствиям.

Пример. 9 июля 2006 г. в Иркутске при заходе на посадку потерпел крушение аэробус А310. При приземлении правый двигатель работал в режиме реверса, а левый по случайности был переведен в режим прямой тяги. В результате самолет закрутило на скользкой взлетно-посадочной полосе, он выкатился за ее пределы и столкнулся с гаражным массивом. Погибло 124 человека из 203, находившихся на борту.

Вращательный эффект пары характеризуется ее моментом. Описывая эффект на плоскости (см. рис. 3.7), вычисляют алгебраический момент пары:

Здесь F – модуль любой из сил, составляющих пару, d – ее плечо. Как и в (3.1), знак «+» выбирается, если поворот под действием пары происходит против часовой стрелки, знак «–» – при повороте по часовой стрелке.

Момент пары в пространстве – это вектор \(\vec m\), перпендикулярный плоскости пары. Его длина равна Fd, аналогично (3.4), а направление выбирается так, чтобы при взгляде с конца вектора поворот тела под действием пары происходил против часовой стрелки (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Момент пары в пространстве

Пример. На судно в водоеме действуют две силы – тяжести \(\vec G\) и Архимеда \(\vec A\), причем первая прикладывается к центру тяжести всего судна, а вторая – к центру тяжести его подводной части. В стоячей воде эти силы разделяют общую (вертикальную) линию действия, они равны по модулю и противоположны по направлению, так что судно находится в равновесии (рис. 3.11 а). При бортовой или килевой качке форма подводной части судна меняется, а линии действия \(\vec G\) и \(\vec A\) смещаются друг относительно друга. На рис. 3.11 б) показан эффект бортовой качки. В результате образуется пара; если ее момент будет достаточно большим, судно может опрокинуться.

Рис. 3.11. Судно в стоячей воде и эффект бортовой качки

Так, в 1628 г. при выходе из гавани Стокгольма потерпел крушение шведский корабль «Vasa». Он нес большое количество тяжелых орудий, а его мачты и бортовые надстройки были слишком высоки. Из-за этого его центр тяжести сместился вверх, плечо пары, образованной силами \(\vec G\) и \(\vec A\) при качке, оказалось большим, а момент превысил допустимое значение. В результате корабль перевернулся и затонул (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Крушение корабля «Vasa»

В 1545 г. по аналогичным причинам погиб английский корабль «Mary Rose».

Выше была получена формула для расчета момента силы относительно точки в пространстве. Оказывается, пара сил имеет аналогичное свойство: момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы (рис. 3.13).

Указанное свойство выражается равенством

Его обоснование полностью аналогично доказательству формулы (3.2) и поэтому не приводится.

Формулу (3.5) можно обобщить с помощью следующей теоремы.

Теорема (о сумме моментов сил, составляющих пару). Какая бы точка ни была выбрана в качестве полюса, момент пары равен сумме моментов сил, ее составляющих, относительно этого полюса.

Доказательство. Пусть силы \(\vec F\) и \(\vec F’\), приложенные в точках A и A’, образуют пару. Выберем произвольную точку O (рис. 3.14) и найдем сумму моментов \(\vec F\) и \(\vec F’\) относительно нее.

Получим \(\vec m_(\vec F)=\overrightarrow\times\vec F\), \(\vec m_(\vec F’)=\overrightarrow\times\vec F’\). Пользуясь тем, что векторы \(\vec F\) и \(\vec F’\) противоположны, перепишем второе выражение в виде \(\vec m_(\vec F’)=-\overrightarrow\times\vec F\). Тогда

Согласно (3.5), последнее выражение и есть искомый момент пары. Теорема доказана.

В завершение отметим, что выбранный полюс O не обязан лежать в плоскости действия пары.

Равенство (3.5) получается из этой теоремы как частный случай: достаточно в качестве полюса выбрать точку приложения одной из сил, составляющих пару.

Заделка. Теперь, имея представление о паре сил, можно изучить еще один вид связи – заделку, препятствующую вращению тела. Различают жесткую и скользящую заделку.

Замечание. Существует также свободная (бискользящая) заделка, но она встречается реже.

Жесткая заделка (или защемление) полностью запрещает любое движение тела – как поступательное, так и вращательное. Поэтому ее реакция описывается силой с неизвестными заранее модулем и направлением и парой с неизвестным моментом, который называют опорным. Тем самым, на плоскости реакция жесткой заделки описывается тремя параметрами: два из них отвечают за силовую часть реакции (например, ее проекции на координатные оси), третий – это алгебраический опорный момент (рис. 3.15 а). Жесткую заделку в пространстве описывают шесть параметров: три компоненты силовой реакции и три компоненты момента пары (рис. 3.15 б). При этом силы прикладываются в точке крепления («заделывания») тела.

Рис. 3.15. Реакция жесткой заделки

В реальности со стороны закрепленного конца на тело действует распределенная нагрузка: опорные реакции распределяются по некоторой площади, поскольку осуществить жесткое крепление в единственной точке технически невозможно. Однако эта нагрузка приводится к выбранной точке закрепления и заменяется сосредоточенной силой и парой.

Пример 1. Можно считать, что вбитая в землю свая фундамента связана с помощью жесткой заделки (рис. 3.16). Действительно, ее крепление должно быть таким, чтобы сваю было невозможно сместить в сторону от первоначального местоположения, вытащить из земли или повернуть. Грунт, окружающий сваю, оказывает давление на всю поверхность соприкосновения с ней, так что создаваемая им нагрузка, действительно, является распределенной.

Пример 2. Во многих случаях крепление плиты балкона к наружной несущей стене дома (рис. 3.17) также можно считать жесткой заделкой. Если рассмотреть «вид сбоку» и перейти от пространственной задачи к плоской, то получаемая картина аналогична рис. 3.15 а).

Горизонтальную балку с одним жестко защемленным концом называют консольной балкой (или просто консолью).

Скользящая заделка (ее также называют защемляющей подвижной) позволяет телу двигаться в одном направлении. Соответственно, в указанном (продольном) направлении эта связь не развивает реакцию (рис. 3.18).

Рис. 3.18. Реакция скользящей заделки

Поэтому на плоскости число параметров, описывающих данную связь, снижается по сравнению с жесткой заделкой с 3 до 2 (поперечная реакция и опорный момент), а в пространстве – с 6 до 5 или 4.

Пример. Представление о скользящей заделке в пространстве дают направляющие шпингалета (рис. 3.19). Они позволяют задвижке перемещаться по продольной оси и вращаться вокруг нее же. Соответственно, реакция направляющих задается четырьмя параметрами: двумя поперечными силовыми реакциями и двумя опорными моментами относительно осей, перпендикулярных задвижке.

3.4. Свойства пар

Произвольная пара сил в пространстве обладает такими свойствами:

Доказательство. Сначала докажем первые два свойства. Нам требуется из данной пары получить другую, силы которой приложены вдоль других линий действия и имеют другую величину и направление, нежели исходные. При этом первоначальная и новая системы сил обязаны быть эквивалентными, а моменты пар – равными.

Пусть силы \(\vec F\) и \(\vec F’\), образующие пару, приложены вдоль прямых l и l’, и необходимо получить пару, у которой линии действия сил совпадают с прямыми m и m’ (рис. 3.20 а). Отложим \(\vec F\) и \(\vec F’\) от точек пересечения A и A’ этих прямых, а далее воспользуемся правилом параллелограмма и разложим каждую из этих сил в сумму двух: \(\vec F=\vec P+\vec Q\), \(\vec F’=\vec P’+\vec Q’\). При этом \(\vec P\) и \(\vec P’\) должны быть направлены вдоль прямой AA’, а \(\vec Q\) и \(\vec Q’\) – вдоль заданных прямых m и m’ (рис. 3.20 б).

Рис. 3.20. Изменение плеча пары и ее перенос в плоскости действия

Очевидно, векторы \(\vec P\) и \(\vec P’\), \(\vec Q\) и \(\vec Q’\) противоположны. При этом \(\vec P\) и \(\vec P’\) имеют общую линию действия и, согласно первой аксиоме статики, уравновешивают друг друга. Следовательно, исходная пара \(\vec F,\vec F’\) эквивалентна паре \(\vec Q,\vec Q’\), силы которой приложены вдоль заданных прямых (а значит, пара имеет заранее заданное плечо).

Осталось доказать, что две пары – первоначальная и вновь полученная – имеют один и тот же момент. Но момент пары \(\vec Q,\vec Q’\) равен \(\overrightarrow\times\vec Q\), а момент пары \(\vec F,\vec F’\) составляет \(\overrightarrow\times\vec F=\overrightarrow\times\vec P+\overrightarrow\times\vec Q=\overrightarrow\times\vec Q\), поскольку \(\overrightarrow\) и \(\vec P\) коллинеарны. Итак, моменты эквивалентных пар равны. Это завершает доказательство первых двух свойств.

Докажем теперь третье свойство. Предположим, что силы \(\vec F\) и \(\vec F’\), образующие пару, имеют линии действия l и l’, соответственно, и требуется перенести пару \(\vec F,\vec F’\) в другую плоскость, где линиями действия сил станут прямые m и m’ (рис. 3.21 а). Для этого воспользуемся второй аксиомой статики и присоединим к исходной системе еще четыре силы: \(\vec G,\vec H\), приложенные вдоль прямой m, и \(\vec G’,\vec H’\), приложенные вдоль m’. При этом векторы \(\vec F\) и \(\vec G\), \(\vec F’\) и \(\vec G’\) равны; \(\vec G\) и \(\vec H\), \(\vec G’\) и \(\vec H’\) уравновешивают друг друга (рис. 3.21 б).

Рис. 3.21. Перенос пары в параллельную плоскость

Силы \(\vec F’\) и \(\vec H\) равны по модулю и сонаправлены, поэтому они имеют равнодействующую \(\vec R\). Ее числовая величина R = 2F, направление совпадает с направлением \(\vec F\), а линия действия проходит через середину отрезка, соединяющего точки приложения \(\vec F’\) и \(\vec H\). Аналогично, равнодействующую \(\vec R’\) имеют \(\vec F\) и \(\vec H’\).

Понятно, что векторы \(\vec R\) и \(\vec R’\) равны по длине и противоположны по направлению. Линия действия у них общая: она проходит через центр симметрии параллелограмма, образованного точками приложения сил \(\vec F\), \(\vec F’\), \(\vec G\), \(\vec G’\), \(\vec H\), \(\vec H’\). Следовательно, силы \(\vec R\) и \(\vec R’\) компенсируют друг друга; поэтому уравновешенной является и система \(\vec F’,\vec H,\vec F,\vec H’\). Отбрасывая ее согласно второй аксиоме статики, мы получим, что исходная пара \(\vec F,\vec F’\) эквивалентна паре сил \(\vec G,\vec G’\), приложенных вдоль заданных прямых m и m’, лежащих в другой плоскости. Последнее из перечисленных свойств доказано.

Замечание. Тот факт, что две сонаправленные силы имеют равнодействующую, будет в общем виде доказан в Лекции 7. Пока же, для частного случая равных по модулю сил, можно ограничиться соображениями симметрии. Достаточно представить, что к концам твердого стержня приложены две одинаковые силы. Эффект будет таким же, если приложить сонаправленную им вдвое большую силу к середине стержня.

Перечисленные свойства пар можно объединить в одну теорему (по сути, она доказана выше).

Теорема (об эквивалентности пар). Пары сил с одинаковыми моментами эквивалентны.

Нельзя сказать, что вектор момента пары отложен от какой-либо точки или «привязан» к какой-либо оси; в отличие от момента силы, он вычисляется не относительно точки или оси, а «сам по себе». Единственная существенная характеристика пары – ее момент, причем этот вектор является свободным.

Итак, если к телу приложена одна пара сил, оно станет вращаться. Что произойдет, если приложенных пар будет несколько? Можно ли упростить эту систему сил? На эти вопросы отвечает следующее утверждение.

Теорема (о сложении пар). Система из нескольких пар, приложенных к твердому телу, эквивалентна одной паре с моментом, равным сумме моментов всех приложенных пар.

Доказательство. Пусть к телу приложены две пары, плоскости действия которых пересекаются по некоторой прямой (рис. 3.22 а). Выберем на этой прямой две точки A и B. Пользуясь предыдущей теоремой, заменим исходные пары на другие, эквивалентные им \(\vec F,\vec F’\) и \(\vec G,\vec G’\), причем так, что силы \(\vec F\) и \(\vec G\) будут отложены от точки A, а \(\vec F’\) и \(\vec G’\) – от точки B (рис. 3.22 б).

Рис. 3.22. Сложение пар

Согласно правилу параллелограмма, две силы, отложенные от одной точки, можно заменить одной равнодействующей: \(\vec F+\vec G=\vec R\), \(\vec F’+\vec G’=\vec R’\), причем \(\vec R\) и \(\vec R’\), очевидно, образуют пару. Тем самым, две пары \(\vec F,\vec F’\) и \(\vec G,\vec G’\) эквивалентны одной – \(\vec R,\vec R’\). Ее момент равен

т.е. сумме моментов исходных пар. Тем самым, для двух пар теорема доказана.

При упрощении системы из трех и более пар можно сначала сложить две пары, затем к полученному результату прибавить третью и т.д.

Вопросы для самоконтроля

Какие из сил, изображенных на рис. 3.23, имеют положительный алгебраический момент относительно точки O, а какие – отрицательный?

Задачи к лекции

Сила \(\vec F=\<5;-7\>\) приложена в точке A(3; 4). Вычислить ее алгебраический момент относительно точки B(1; 1). Компоненты силы даны в Н, координаты – в м.

Указание. Воспользоваться формулами (3.3). Учесть, что момент считается не относительно начала координат.

Ответы. 1. Нет; момент силы равен приближенно 19.49 Н. 2. \(2\sqrt<14>\approx 7.48\) Н·м; \(2\sqrt<14>\approx 2.08\) м. 3. –29 Н·м. 4. а) нет, силы не противоположны; б) да; в) нет, силы приложены вдоль одной прямой.

Источник