что такое гистограмма частот

Полигон и гистограмма

n_i — частоты;

w_i — относительные частоты;

n — объём выборки;

Номер интервала	Абсолютная частота, n_i	Частотный интервал
1.	3	[11;13)
2.	6	[13;15)
3.	4	[15;17)
4.	5	[17;19)
5.	2	[19;21)

Таблица относительных частот и эмпирическая плотность распределения частоты

Частотный интервал	Относительная частота, w_i=n_i/n	Эмпирическая плотность распределения частоты n_i/ Δ
[11;13)	0.15	1.5
[13;15)	0.3	3
[15;17)	0.2	2
[17;19)	0.25	0.25
[19;21)	0.1	0.1

График гистограммы абсолютных частот

График гистограммы относительных частот

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х_i, а на оси ординат — соответствующие им частоты n_i и соединяют точки.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3.7 / 5. Количество оценок: 11

Источник

Полигон частот и гистограмма частот

Вы будете перенаправлены на Автор24

Полигон частот

Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 2. Полигон частот.

Помимо обычной частоты существует еще понятие относительной частоты.

Получаем следующую таблицу распределения относительных частот:

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 4. Полигон относительных частот.

Гистограмма частот

Помимо понятия полинома для непрерывных значений существует понятие гистограммы.

Рисунок 5. Гистограмма частот.

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 6. Гистограмма относительных частот.

Примеры задачи на построение полигона и гистограммы

Пусть распределение частот имеет вид:

Построить полигон относительных частот.

Получим следующий полигон относительных частот.

Дан ряд непрерывного распределения частот:

Источник

Постройка полигона и гистограммы частот

Что такое полигон и гистограмма частот

Для наглядного представления ряда распределения используют полигон и гистограмму частот.

Полигон частот – это ломаная, соединяющая точки (x₁, n₁), (x₂, n₂). (x_k, n_k), где x_i – это варианты или наблюдаемые значения, а n_i – частота вариантов.

Существует также полигон относительных частот, представляющий собой ломаную, которая образуется при соединении точек (x₁, W₁), (x₂, W₂). (x_k, W_k). Величина W является отношением частоты данного варианта к объему выборочной совокупности и имеет вид:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

где n – это объем выборки.

Гистограмму используют в случае непрерывного признака.

Гистограмма частот – это фигура в виде ступеней – прямоугольников, в основании которых лежат частичные интервалы длины h, а высотами служат W_i.

Для гистограммы относительных частот основанием прямоугольников ступенчатой фигуры служат частичные интервалы длины h, а высотами – отношение W_i/h.

Как построить полигон частот

Полигон частот строится следующим образом. На оси абсцисс отмечают наблюдения значения x, на оси ординат откладывают соответствующие x_i частоты n_i. Точки с координатами (x_i, n_i), соединенные прямыми отрезками, составляют ломаную – полигон частот.

Пример

Полигон частот для выборки со следующими значениями:

x_i 92, 94, 95, 96, 97, 98.

Как построить гистограмму частот

Алгоритм построения гистограммы частот такой: на оси OX отмечаются частичные интервалы h, затем над отложенными значениями проводятся отрезки, параллельные оси OY, на расстоянии отношения плотности частоты n_i/h.

Пример гистограммы частот при частичном интервале h, равном 3.

Сумма частот вариант h: 2–5, 5–8, 8–11, 11–14.

Плотность частоты n_i/h: 3,3; 8,3.

Чему равна площадь гистограммы частот

Площадь отдельного прямоугольника гистограммы равна сумме частот интервала i и имеет вид:

Площадь всей гистограммы складывается из всех частот, значит, она равна объему выборки.

Примеры создания полигона и гистограммы в задачах

Задача 1

Успеваемость студентов по дисциплине «Высшая математика» представлена в виде баллов:

Баллы, x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Количество студентов, n: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 5, 3, 3, 2, 1.

Нужно построить полигон частот по этим данным.

Решение

На основе представленной информации строим точки и соединяем их отрезками прямой. Следует заметить, что точки с координатами (0; 0) и (13; 0), которые располагаются на оси OX, имеют своими абсциссами числа на 1 меньшее и большее, чем абсциссы наиболее левой и наиболее правой точек соответственно. Полигон частот выглядит так:

Задача 2

По итогам контрольной работы по биологии среди учеников 9-го класса получена информация о доступности вопросов тестирования (отношение количества учеников, верно ответивших на вопросы, к общему числу учащихся, написавших данную работу). Результаты:

Доступность вопросов, x (%): 25–35, 35–45, 45–55, 55–65, 75–85, 85–95.

Количество вопросов, n: 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1.

Всего в контрольной работе было 25 вопросов.

Необходимо построить гистограмму по этому ряду распределения.

Решение

Отмечаем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. Эти отрезки будут основанием прямоугольников с высотами 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Ступенчатая фигура, полученная в результате перечисленных действий, является искомой гистограммой.

Источник

3. Интервальный вариационный ряд.
Гистограмма относительных частот

На предыдущем уроке по математической статистике (Занятие 1) мы разобрали дискретный вариационный ряд (Занятие 2), и сейчас на очереди интервальный. Его понятие, графическое представление (гистограмма и эмпирическая функция распределения), а также рациональные методы вычислений, как ручные, так и программные. В том числе будут рассмотрены задачи с достаточно большим количеством (100-200) вариант – что делать в таких случаях, как обработать большой массив данных.

Предпосылкой построения интервального вариационного ряда (ИВР) является тот факт, что исследуемая величина принимает слишком много различных значений. Зачастую ИВР появляется в результате измерения непрерывной характеристики изучаемых объектов. Типично – это время, масса, размеры и другие физические характеристики. Подходящие примеры встретились в первой же статье по матстату, вспоминаем Константина, который замерял время на лабораторной работе и Фёдора, который взвешивал помидоры.

Для изучения интервального вариационного ряда затруднительно либо невозможно применить тот же подход, что и для дискретного ряда. Это связано с тем, что ВСЕ варианты многих ИВР различны. И даже если встречаются совпадающие значения, например, 50 грамм и 50 грамм, то связано это с округлением, ибо полученные значения всё равно отличаются хоть какими-то микрограммами.

Поэтому для исследования ИВР используется другой подход, а именно, определяется интервал, в пределах которого варьируются значения, затем данный интервал делится на частичные интервалы, и по каждому интервалу подсчитываются частоты – количество вариант, которые в него попали.

Разберём всю кухню на конкретной задаче, и чтобы как-то разнообразить физику, я приведу пример с экономическим содержанием, кои десятками предлагают студентам экономических отделений. Деньги, строго говоря, дискретны, но если надо, непрерывны :), и по причине слишком большого разброса цен, для них целесообразно строить интервальный ряд:

По результатам исследования цены некоторого товара в различных торговых точках города, получены следующие данные (в некоторых денежных единицах):

Требуется составить вариационный ряд распределения, построить гистограмму и полигон относительных частот + бонус – эмпирическую функцию распределения.

Такое обывательское исследование проводит каждый из нас, начиная с анализа цены на пакет молока ~~вот это дожил~~ в нескольких магазинах, и заканчивая ценами на недвижимость по гораздо бОльшей выборке. Что называется, не какие-то там унылые сантиметры.

Поэтому представьте свой любимый товар / услугу и наслаждайтесь решением🙂

Очевидно, что перед нами выборочная совокупность объемом наблюдений (таблица 10*3), и вопрос номер один: какой ряд составлять – дискретный или интервальный? Смотрим на таблицу: среди предложенных цен есть одинаковые, но их разброс довольно велик, и поэтому здесь целесообразно провести интервальное разбиение. К тому же цены могут быть округлёнными.

Начнём с экстремальной ситуации, когда у вас под рукой нет Экселя или другого подходящего программного обеспечения. Только ручка, карандаш, тетрадь и калькулятор.

Тактика действий похожа на исследование дискретного вариационного ряда. Сначала окидываем взглядом предложенные числа и определяем примерный интервал, в который вписываются эти значения. «Навскидку» все значения заключены в пределах от 5 до 11. Далее делим этот интервал на удобные подынтервалы, в данном случае напрашиваются промежутки единичной длины. Записываем их на черновик:

Теперь начинаем вычёркивать числа из исходного списка и записывать их в соответствующие колонки нашей импровизированной таблицы:

После этого находим самое маленькое число в левой колонке и самое большое значение – в правой. Тут даже ничего искать не пришлось, честное слово, не нарочно получилось:)
ден. ед. – хорошим тоном считается указывать размерность.

Вычислим размах вариации:
ден. ед. – длина общего интервала, в пределах которого варьируется цена.

Теперь его нужно разбить на частичные интервалы. Сколько интервалов рассмотреть? По умолчанию на этот счёт существует формула Стерджеса:

, где – десятичный логарифм* от объёма выборки и – оптимальное количество интервалов, при этом результат округляют до ближайшего левого целого значения.

* есть на любом более или менее приличном калькуляторе

В нашем случае получаем:
интервалов.

Следует отметить, что правило Стерджеса носит рекомендательный, но не обязательный характер. Нередко в условии задачи прямо сказано, на какое количество интервалов нужно проводить разбиение (на 4, 5, 6, 10 и т.д.), и тогда следует придерживаться именно этого указания.

Длины частичных интервалов могут быть различны, но в большинстве случаев использует равноинтервальную группировку:
– длина частичного интервала. В принципе, здесь можно было не округлять и использовать длину 0,96, но удобнее, ясен день, 1.

И коль скоро мы прибавили 0,04, то по 5 частичным интервалам у нас получается «перебор»: . Посему от самой малой варианты отмеряем влево 0,1 влево (половину «перебора») и к значению 5,7 начинаем прибавлять по , получая тем самым частичные интервалы. При этом сразу рассчитываем их середины (например, ) – они требуются почти во всех тематических задачах:

– убеждаемся в том, что самая большая варианта вписалась в последний частичный интервал и отстоит от его правого конца на 0,1.

Далее подсчитываем частоты по каждому интервалу. Для этого в черновой «таблице» обводим значения, попавшие в тот или иной интервал, подсчитываем их количество и вычёркиваем:

Так, значения из 1-го интервала я обвёл овалами (7 штук) и вычеркнул, значения из 2-го интервала – прямоугольниками (11 штук) и вычеркнул и так далее.

Правило: если варианта попадает на «стык» интервалов, то её следует относить в правый интервал. У нас такая варианта встретилась одна: – и её нужно причислить к интервалу .

В результате получаем интервальный вариационный ряд, при этом обязательно убеждаемся в том, что ничего не потеряно: , и, кроме того, рассчитываем относительные частоты по каждому интервалу, которые уместно округлить до двух знаков после запятой:

Дело за чертежами. Для ИВР чаще всего требуется построить гистограмму.

Гистограмма относительных частот – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна длинам частичных интервалов, а высота – соответствующим относительным частотам:

При этом вполне допустимо использовать нестандартную шкалу по оси абсцисс, в данном случае я начал нумерацию с четырёх.

Площадь гистограммы равна единице, и это статистический аналог функции плотности распределения непрерывной случайной величины. Построенный чертёж даёт наглядное и весьма точное представление о распределении цен на ботинки по всей генеральной совокупности. Но это при условии, что выборка представительна.

Вместе с гистограммой нередко требуют построить полигон. Без проблем, полигон относительных частот – это ломаная, соединяющая соседние точки , где – середины интервалов:

Автоматизируем решение в Экселе:

Как составить ИВР и представить его графически? (Ютуб)

И бонус – эмпирическая функция распределения. Она определяется точно так же, как в дискретном случае:

, где – количество вариант СТРОГО МЕНЬШИХ, чем «икс», который «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности.

Но вот построить её для интервального ряда намного проще. Находим накопленные относительные частоты:

И строим кусочно-ломаную линию, с промежуточными точками , где – правые концы интервалов, а – относительная частота, которая успела накопиться на всех «пройденных» интервалах:

При этом если и если .

Напоминаю, что данная функция не убывает, принимает значения из промежутка и, кроме того, для ИВР она ещё и непрерывна.

Эмпирическая функция распределения является аналогом функции распределения НСВ и приближает теоретическую функцию , которую теоретически, а иногда и практически можно построить по всей генеральной совокупности.

Помимо перечисленных графиков, вариационные ряды также можно представить с помощью кумуляты и огивы частот либо относительных частот, но в классическом учебном курсе эта дичь редкая, и поэтому о ней буквально пару абзацев:

Кумулята – это ломаная, соединяющая точки:

* либо – для дискретного вариационного ряда;
либо – для интервального вариационного ряда.

* – накопленные «обычные» частоты

В последнем случае кумулята относительных частот представляет собой «главный кусок» недавно построенной эмпирической функции распределения.

Огива – это обратная функция по отношению к кумуляте – здесь варианты откладываются по оси ординат, а накопленные частоты либо относительные частоты – по оси абсцисс.

С построением данных линий, думаю, проблем быть не должно, чего не скажешь о другой проблеме. Хорошо, если в вашей задаче всего лишь 20-30-50 вариант, но что делать, если их 100-200 и больше? В моей практике встречались десятки таких задач, и ручной подсчёт здесь уже не торт. Считаю нужным снять небольшое видео:

Как быстро составить ИВР при большом объёме выборки? (Ютуб)

Ну, теперь вы монстры 8-го уровня 🙂

Но не всё так сурово. В большинстве задач вам предложат готовый вариационный ряд, и на счёт молока, то, конечно, была шутка:

Выборочная проверка партии чая, поступившего в торговую сеть, дала следующие результаты:

Требуется построить гистограмму и полигон относительных частот, эмпирическую функцию распределения

Проверяем свои навыки работы в Экселе! (исходные числа и краткая инструкция прилагается) И на всякий случай краткое решение для сверки в конце урока.

Что ещё важного по теме? Время от времени встречаются ИВР с открытыми крайними интервалами, например:

В таких случаях, что убийственно логично, интервалы «закрывают». Обычно поступают так: сначала смотрим на средние интервалы и выясняем длину частичного интервала: км. И для дальнейшего решения можно считать, что крайние интервалы имеют такую же длину: от 140 до 160 и от 200 до 220 км. Тоже логично. Но уже не убийственно:)